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Wie du den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmst


Aufgabe

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Geraden

\(g:\vec{X}=\begin{pmatrix}8\\1\\7\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix};\quad\lambda\in\mathbb{R}\) und

\(h:\vec{X}=\begin{pmatrix}-1\\5\\-9\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix};\quad\mu\in\mathbb{R}\)

gegeben. Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(T\).

Bestimme die Koordinaten von \(T\).

[Ergebnis: \(T(2|{-1}|3)\)]

Schritt 1: Allgemeine Geradenpunkte gleichsetzen

Jeder Punkt auf der Geraden \(g\) hat den Ortsvektor \( \overrightarrow{OP_{\lambda}}=\begin{pmatrix}8+3\lambda\\1+\lambda \\7+2\lambda\end{pmatrix}\) für ein \(\lambda\in\mathbb{R}\). Der allgemeine Geradenpunkt auf \(h\) hat den Ortsvektor \(\overrightarrow{OQ_{\mu}}=\begin{pmatrix}-1+\mu\\5-2\mu \\-9+4\mu\end{pmatrix}\) für ein \(\mu\in\mathbb{R}\). Der Schnittpunkt \(T\) der zwei Geraden hat also für geeignete Zahlen \(\lambda\) und \(\mu\) sowohl die Form \(\overrightarrow{OP_{\lambda}}\) als auch die Form \(\overrightarrow{OQ_{\mu}}\). Das heißt, es gibt geeignete Parameter \( \lambda\) und \(\mu\), sodass \(\overrightarrow{OP_{\lambda}}=\overrightarrow{OQ_{\mu}}\) ist, also:

\(\begin{pmatrix}8+3\lambda\\1+\lambda \\7+2\lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+\mu\\5-2\mu \\-9+4\mu\end{pmatrix}\)

Schritt 2: Einen Parameter mit linearem Gleichungssystem bestimmen

Die Vektorgleichung aus Schritt 1 liefert ein lineares Gleichungssystem aus drei Gleichungen für die zwei unbekannten Parameter \(\lambda\) und \(\mu\):

\(\begin{alignat*}{5} &\text{I:}&&8+3&\lambda&=&-1&+&&\mu\\ &\text{II:}&&1+&\lambda&=&5&-2&&\mu\\ &\text{III:}&&7+2&\lambda&=&-9&+4&&\mu \end{alignat*}\)

Durch Zusammenfassen aller Terme auf der linken Seite vereinfachen sich die Gleichungen:

\(\begin{alignat*}{3} &\text{I:}&9&+3&\lambda&-&\mu=0\\ &\text{II:}&-4&+&\lambda&+2&\mu=0\\ &\text{III:}&16&+2&\lambda&-4&\mu=0 \end{alignat*}\)

Den Parameter \(\mu\) eliminierst du, indem du die erste Gleichung mit 2 multiplizierst und die zweite Gleichung dazuaddierst:

\(\text{2}\cdot\text{I+II: }14+7\lambda=0\Longrightarrow\lambda=-\frac{14}{7}=-2\)

Schritt 3: Einen Parameterwert in die zugehörige Geradengleichung einsetzen

Den eben bestimmten Parameter \(\lambda=-2\) setzt du in die zugehörige Geradengleichung (also die Gleichung von \(g\)) ein, um den Schnittpunkt \(T\) zu bekommen:

\(\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OP_{-2}}=\begin{pmatrix}8+3\cdot(-2)\\1+(-2) \\7+2\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\)

Somit hat \(T\) die Koordinaten \(T(2|-1|3)\).

Bemerkung

Du brauchst für diese Aufgabe das lineare Gleichungssystem in Schritt 2 nicht vollständig zu lösen, weil du aufgrund der Aufgabenstellung schon weißt, dass es genau einen Schnittpunkt gibt. Welchen der beiden Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) du bestimmst, ist egal, du musst dann nur den Wert in die richtige Geradengleichung einsetzen (\(\lambda\) gehört zu \(g\) und \(\mu\) zu \(h\)).
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