Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du den Funktionsterm zu Graphen aufstellst


Aufgabe

Bestimme die Funktionsterme.

Wie du den Funktionsterm zu Graphen aufstellst - Abbildung 1    

Schritt 1: Funktionsterm des roten Graphen bestimmen

Beim roten Graphen erkennst du z. B. an einer kleinen Wertetabelle, dass es sich um den Graphen einer Exponentialfunktion \( f\) handelt:

\(x\) 1 2 3 4
\(f(x)\) 1 2 4 8

Die Werte ver\(\color{green} {doppeln }\) sich mit jedem Schritt, d. h. wenn man von irgendeinem \(x\) um eine Einheit zu \(x+1\) übergeht, dann wird aus dem Wert \(f(x)\) der Wert \(\color{green} {2}\cdot f(x)\). Deswegen hat \(f\) eine Funktionsgleichung der Form

\(f(x)=c\cdot \color{green} {2}^x\).

Die Zahl \(c\) ist der Anfangsbestand, also der Wert von \( f\) bei \(x=0\). Anhand der Graphik erkennst du, dass \(f(0)=0{,}5\) ist. Also ist \(c=0{,}5\).

Lösung

Somit ist

\(f(x)=0,5\cdot 2^x\) eine Funktionsgleichung von \(f\). Der gesuchte Funktionsterm lautet also \(\bf0,5\cdot 2^x\).

Bemerkung:

Die Funktionsgleichung lässt sich noch zu \(f(x)=2^{(x-1)}\) vereinfachen, aber das war nicht gefragt.

Schritt 2: Funktionsterm des grünen Graphen bestimmen

Nun zum grünen Graphen: diesmal haben wir eine Gerade, die nicht senkrecht verläuft. Jede solche Gerade ist der Graph einer Funktion

\(g(x)=m\cdot x+b\)

für irgendwelche reellen Zahlen \(m\) und \(b\). Dabei ist \(m\) die Steigung und \(b\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden.

Die Steigung kannst du anhand des Graphen wie folgt bestimmen: Wähle einen Punkt auf der Geraden, dessen Koordinaten du gut ablesen kannst, z. B. \(P(0|1)\). Dann suchst du einen Punkt auf der Geraden, dessen \(x\)-Koordinate um 1 größer ist als bei dem ersten Punkt. \(P(0|1)\) hat die \(x\)-Koordinate 0, also suchst du einen Punkt mit \(x\)-Koordinate 1 auf der Geraden und findest \(Q(1|3)\).

Jetzt musst du ablesen, wie viel höher der Punkt \(Q\) liegt als der Punkt \(P\). Du ziehst dazu die \(y\)-Koordinate von \(P\) von der \(y\)-Koordinate von \(Q\) ab:

\(y_Q-y_P=3-1=2\).

Diese Gleichung bedeutet: Wenn \(x\) um 1 größer wird, vergrößert sich der Funktionswert um 2. Die Steigung der Geraden ist also \(m=2\). Jetzt brauchst du noch den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\). Das ist die \(y\)-Koordinate des Geradenpunkts mit der \(x\)-Koordinate 0. Diesen Geradenpunkt haben wir schon abgelesen: Er lautet \(P(0|1\)). Dessen \(y\)-Koordinate ist 1, also ist \(b=1\).

Lösung

Somit lautet die vollständige Geradengleichung für den grünen Graphen \(g(x)=2\cdot x+1\).

Der gesuchte Funktionsterm ist also \(\bf 2\cdot x+1\).

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier