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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Funktionsterm einer quadratischen Funktion bestimmst

Aufgabe

Die x-Koordinate des Scheitels einer nach unten geöffneten und mit dem Faktor 0,5 gestauchten Parabel ist 3. Zeichne eine solche Parabel. Wie lautet ihre Gleichung, wenn ihr größter Funktionswert \(-2\) ist?

Schritt 1: Skizze und Ansatz

Für die Zeichnung gehst du vom Scheitelpunkt aus. Über die y-Koordinate des Scheitelpunkts wird zunächst noch nichts vorausgesetzt, die kannst du für deine Zeichnung beliebig wählen, beispielsweise 0.
In der Zeichnung kommt also als Erstes der Scheitelpunkt \((3|0)\) rein. 

Weitere Punkte auf dem rechten Ast des Parabelbogens bekommst du wie folgt:

  • Berechne \(\color{green}{1}^2\) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(0,5\): Das ergibt \(1^2⋅0,5=\color{maroon}{0,5}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green}{1}\) Einheit nach rechts und \(\color{maroon}{0,5}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.
  • Berechne \(\color{green}{2}^2\) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(0,5\): Das ergibt \(2^2⋅0,5=\color{maroon}{2}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green}{2}\) Einheiten nach rechts und \(\color{maroon}{2}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.
  • Berechne \(\color{green}{3}^2\) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(0,5\): Das ergibt \(3^2⋅0,5=\color{maroon}{4,5}\)
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green}{3}\) Einheiten nach rechts und \(\color{maroon}{4,5}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.

Weitere Punkte auf dem linken Ast des Parabelbogens bekommst du wie folgt:

  • Berechne \(\color{green}{1}^2\) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktor \(0,5\): Das ergibt \(1^2⋅0,5=\color{maroon}{0,5}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green}{1}\) Einheit nach links und \(\color{maroon}{0,5}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.
  • Berechne \(\color{green}{2}^2\) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(0,5\): Das ergibt \(2^2⋅0,5=\color{maroon}{2}\).
    Gehe
    vom Scheitelpunkt aus \(\color{green}{2}\) Einheiten nach links und \(\color{maroon}{2}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.
  • Berechne \(\color{green}{3}^2\) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors\(0,5\): Das ergibt \(3^2⋅0,5=\color{maroon}{4,5}\). 
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green}{3}\) Einheiten nach links und \(\color{maroon}{4,5}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.

Wie du den Funktionsterm einer quadratischen Funktion bestimmst - Abbildung 1

Verbinde dann die Punkte mit einer durchgezogenen Linie:

Wie du den Funktionsterm einer quadratischen Funktion bestimmst - Abbildung 2

Schritt 2: Funktionsgleichung aufstellen

Scheitelpunkt notieren

Der größte Funktionswert ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts. Somit hat die beschriebene Parabel den Scheitelpunkt \((3|-2)\).

Scheitelpunktform ansetzen

Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist, dann ist die Parabelgleichung am einfachsten in der Scheitelpunktform zu bestimmen. Sie sieht im Allgemeinen so aus:
\(\color{green}{y=a\cdot(x-x_S)^2+y_S}\).
Dabei sind \(x_S\) und \(y_S\) die x- und y-Koordinaten des Scheitels. 

a, \(x_S\) und \(y_S\) aus der Angabe herausfiltern

In unserem Fall ist also \(x_S=3\) und \(y_S=-2\). Der Faktor a ist der Streckfaktor, der auch Stauchfaktor heißt, wenn er im Betrag kleiner als eins ist. Der Betrag von a ist angegeben: \(|a|=0,5\). Die Tatsache, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, bedeutet, dass a negativ ist. Also ist \(a=-0,5\).

Lösung

Einsetzen dieser Daten in die grüne Formel liefert die Funktionsgleichung \(y=-0,5\cdot(x-3)^2-2\)
Falls dein Lehrer die Klammern in der Lösung immer ausmultipliziert haben will, benutzt du am besten die zweite binomische Formel und erhältst die allgemeine Form\(y=-0,5\cdot(x^2-6x+9)-2=-0,5x^2+3x-4,5-2=-0,5x^2+3x-6,5\).

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