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Wie du das Additionsverfahren anwendest


Aufgabe

Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.

I.   2x + 3y = −6

II.  4x − y = 16

Schritt 1: Nehme die Gleichungen geschickt mit einer Zahl mal

Um das Additionsverfahren anwenden zu können, muss vor einer der beiden Unbekannten in beiden Gleichungen die gleiche Zahl stehen, nur einmal mit einem positiven Vorzeichen und einmal mit einem negativen. Wenn das noch nicht so ist, dann musst du eine oder beide Gleichungen so mit einer Zahl malnehmen, dass das anschließend erreicht ist. Bei dieser Aufgabe könntest du zum Beispiel die zweite Gleichung mit 3 multiplizieren. Das bedeutet, dass du jeden Term in der Gleichung mal 3 nehmen musst, also 4x, −y und 16.

I. 2x + 3y = −6

II. 4x − y = 16  | \(\cdot\ 3\)

IIa. 12x − 3y = 48

Jetzt steht in der ersten Gleichung +3 vor dem y und in der veränderten zweiten Gleichung −3.

I. 2x + 3y = −6

IIa. 12x  3y = 48

Schritt 2: Addiere die Gleichungen und berechne die erste Variable 

Sobald vor einer der beiden Unbekannten in beiden Gleichungen die gleiche Zahl mit unterschiedlichem Vorzeichen steht, kannst du die beiden Gleichungen addieren. Dabei addierst du den x-Term der einen Gleichung mit dem x-Term der anderen, genauso den y-Term der einen Gleichung mit dem y-Term der anderen und die Zahl der einen Gleichung mit der Zahl der anderen.

I. 2x + 3y = −6

IIa. 12x − 3y = 48

I + IIa. 2x + 12x + 3y  3y = 6 + 48

I + IIa. 14x + 0 = 42

Dadurch, dass vor dem y in der ersten Gleichung +3 stand und in der zweiten Gleichung −3, fällt der y-Term beim Addieren komplett weg. So kannst du die übrige Unbekannte, also hier x, sehr leicht berechnen, indem du die Gleichung nach x auflöst.

I + IIa. 14x = 42  | : 14

            x = 3

Schritt 3: Erste Variable einsetzen und zweite Variable berechnen

Mit dem gerade berechneten Ergebnis für die erste Unbekannte kannst du jetzt die zweite Unbekannte berechnen. Dazu setzt du das Ergebnis für die erste Variable in eine der beiden Gleichungen ein. Setze hier also das Ergebnis für x, also 3, zum Beispiel in die zweite Gleichung ein.

II. 4x − y = 16

II. \(4 \cdot 3\) − y = 16

Jetzt kannst du diese Gleichung sehr einfach nach y auflösen, indem du die Äquivalenzumformungsregeln benutzt.

II. 12 − y = 16  | − 12

       −y = 4   | : (−1)

         y = −4

Lösung

Die Lösung des Gleichungssystems lautet:

x = 3; y = −4

Du kannst die Lösung auch in Punktschreibweise angeben.

Die Lösung ist (3|−4).

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