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Originalprüfung 2014 Stochastik, Teil A, AG 1


Aufgabe 1

In Urne \(A\) befinden sich 2 rote und 3 weiße Kugeln. Urne \(B\) enthält 3 rote und 2 weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:
Aus Urne \(A\) wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(B\) gelegt; danach wird aus Urne \(B\) eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(A\) gelegt.

  1. Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne \(A\) nach der Durchführung des Zufallsexperiments an.
  2. Betrachtet wird das Ereignis \(E\): „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder 3 weiße Kugeln in Urne \(A\).“ Untersuchen Sie, ob das Ereignis \(E\) eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.
  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Betrachtet wird eine Bernoulli-Kette mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 und der Länge 20. Beschreiben Sie zu dieser Bernoulli-Kette ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0,9^{20}+20\cdot0,1\cdot0,9^{19}\) angegeben wird. 

  • Punkte:  2

Aufgabe 3

Die Zufallsgröße \(X\) kann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) mit \(p_1,p_2\in[0;1].\)

k

0

1

2

3

\(P(X=k)\)

\(p_1\)

\(\frac{3}{10}\)

\(\frac{1}{5}\)

\(p_2\)

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von \(X\) nicht größer als 2,2 sein kann.

  • Punkte:  3
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