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Analytische Geometrie, grundlegendes Anforderungsniveau, 1. Aufgabe


Zugelassene Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner (mit oder ohne Grafikfähigkeit), mathematische Formelsammlung, Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

Aufgabe

Ein Blatt DIN-A4-Papier liegt in der \(x_1\)-\(x_2\)-Ebene. Gegeben sind seine Eckpunkte \(O(0|0|0)\), \(A(\sqrt{2}|0|0)\), \(B(\sqrt{2}|1|0)\) und \(C(0|1|0)\) sowie der Punkt \(D(1|1|0)\). (Als Längeneinheit (LE) wird die Länge der kürzeren Seite des DIN-A4-Blattes verwendet.) Das Blatt wird jetzt entlang der Strecke \(\overline {OD}\) gefaltet. Das Dreieck \(ODC\) bleibt dabei fest, während das Viereck \(OABD\) in das Viereck \(OA'B'D\) übergeht, das wieder in der \(x_1\)-\(x_2\)-Ebene liegt. Die Gegebenheiten sind in den folgenden Schrägbildern dargestellt. Zur Veranschaulichung kann das als Seite 3 beigefügte DIN-A4-Blatt entsprechend gefaltet werden.

Analytische Geometrie, grundlegendes Anforderungsniveau, 1. Aufgabe - Abbildung 1

a)

  1. Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes \(M\) der Strecke \(\overline{OD}\) an.
  2. Zeigen Sie, dass die Gerade \(CM\) senkrecht zur Geraden \(OD\) ist.
  3. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes \(C\) von der Geraden \(OD\).
  • Punkte:  12

b)

Die Ecke des Blattes, die durch das Falten aus der Position \(A\) in die Position \(A'\) gebracht wird, bewegt sich bei dem Faltvorgang auf einem Halbkreis in einer Ebene \(E\), die senkrecht zur \(x_1\)-\(x_2\)-Ebene ist (siehe Abbildungen 1 bis 3).

  1. Leiten Sie je eine Gleichung dieser Ebene \(E\) in Parameterform und in Koordinatenform her. 
    [Zur Kontrolle: \(E:x_1 + x_2 = \sqrt{2}\)]
  2. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) der Ebene \(E\) mit der Geraden \(OD\).
    [Zur Kontrolle: \(S\left(\frac12\sqrt{2}|\frac12\sqrt{2}|0\right)\)]

Analytische Geometrie, grundlegendes Anforderungsniveau, 1. Aufgabe - Abbildung 2

  • Punkte:  14

Während des Faltvorgangs wird das beim Falten bewegte Papierviereck auch in die Position des Vierecks \(OA^*B^*D\) gebracht, das in einer sowohl zur \(x_1\)-\(x_2\)-Ebene als auch zur Ebene \(E\) aus b) senkrechten Ebene \(E^*\) liegt (siehe Abbildung 3).

c)

  1. Leiten Sie eine Gleichung der Ebene \(E^*\) in Parameterform her.
  2. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes \(A^*\)
  • Punkte:  10

d)

  1. Begründen Sie, dass das Viereck \(ABDS\) ein Drachenviereck ist. 
  2. Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Vierecks \(ABDS\).
  • Punkte:  14
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