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Abiturprüfung

Originalprüfung 2015 Pflichtteil EA

Abitur 5 Minuten
  • Aufgabe 1

    1 Minute 5 Punkte

    Gegeben sind die in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(f\)\(g\) und \(h\) durch \(f(x)=x^2-x+1,\;g(x)=x^3-x+1\;\text{und}\; h(x)=x^4+x^2+1.\)

    1. Die Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.
      Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt. 
    2. Die erste Ableitungsfunktion von \(h\) ist \(h'\). Bestimmen Sie den Wert von \(\int\limits^1_0 h'(x)\text{d}x.\)

     

  • Aufgabe 2

    1 Minute 6 Punkte

    Für jeden Wert von \(a>0\) ist eine Funktion \(f_a\) gegeben durch \(f_a(x)=x\cdot \text{e}^{-ax}\;(x\in\mathbb{R}).\) 

    In der obigen Abbildung ist beispielhaft für \(a=2\) der Graph \(f_2\) sowie \(f'_2\) dargestellt. Es ist \(f'_2(0)=1.\)

    1. Begründen Sie, dass \(y=x\) die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f_2\) an der Stelle \(x=0\) ist.
    2. Zeigen Sie, dass gilt: \(f'_a(x)=(1-ax)\cdot \text{e}^{-ax}\;(x\in\mathbb{R},\;a>0).\)
    3. Begründen Sie, dass die Extremstellen der Graphen von \(f_a\) vom Parameter \(a\) abhängig sind, die Nullstellen aber nicht.
  • Aufgabe 3

    1 Minute 5 Punkte

    Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p \) beschrieben.  

    1. Geben Sie für die folgenden Ereignisse jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von \(p\) beschreibt.
      1. Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.
      2. Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.
    2. Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.
  • Aufgabe 4

    1 Minute 5 Punkte

    Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A(0 |1| 2)\) und \(B(2| 5 | 6)\).

    1. Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand 6 haben. Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von \(A\) jeweils den Abstand 12. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(C\) und \(D\).
    2. Die Punkte \(A\), \(B\) und \(E(1| 2| 5)\) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunktes gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunktes an.
  • Aufgabe 5

    1 Minute 5 Punkte

    Zu einem bestimmten Zeitpunkt haben die drei Anbieter A1, A2 und A3 jeweils 10 000 Kunden. Die für das nächste Jahr zu erwartende Kundenwanderung zwischen diesen Anbietern wird durch die folgende Übergangstabelle beschrieben:

    1. Vervollständigen Sie den folgenden Übergangsgraphen zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres. Geben Sie die Gesamtzahl der Kunden an, die innerhalb des nächsten Jahres den Anbieter wechseln.
    2. Ausgehend von der Ausgangsverteilung von je 10 000 Kunden wird eine Fusion der Anbieter A1 und A2 zu einem Anbieter A1&A2 geplant. Im Kundengeschäft behalten beide ihr bekanntes Profil bei, sodass angenommen werden kann, dass die Kundenwanderung im nächsten Jahr weiterhin wie in der obigen Übergangstabelle dargestellt abläuft. Vervollständigen Sie den folgenden Übergangsgraphen zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres unter Berücksichtigung der Fusion.
      Vervollständigen Sie die folgende Übergangstabelle zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres unter Berücksichtigung der Fusion.