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Wurzel, Potenz, Logarithmus (1)


Aufgabe 1

Berechne.

  1. \(\log_2214\)
  2. \(\log_61,7\)
  3. \(\log_49\)
  4. \(\log_40,1\)

Lösung

  1. 7,741
  2. 0,296
  3. 1,585
  4. -1,661

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  2

Aufgabe 2

Forme mithilfe der Potenzgesetze um.

  1. \(\frac{4}{5}a^4 b^{-2} \cdot \frac{5}{8}a^{-3} b^{5} + 2,5ab^3\)
  2. \(\left(\frac{5}{a-b}\right)^2\)
  3. \(\left(a^2-b^2\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(a^2+ab\right)^{-\frac{1}{2}}\)

Lösung

  1. \(3ab^3\)
  2. \(\frac{25}{a^2-2ab+b^2}\)
  3. \(\frac{\left(a^2-b^2\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(a^2+ab\right)^{\frac{1}{2}}} = \left(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a\left(a+b\right)}\right)^\frac{1}{2} = \left(\frac{a-b}{a}\right)^\frac{1}{2}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 3

Forme um. Nutze die Wurzelgesetze.

  1. \(2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}- 7\sqrt{2}\) 
  2. \(\sqrt[3]{32}:\sqrt[3]{4}\)
  3. \(\frac{1}{\sqrt[5]{81}} \cdot \frac{1}{\sqrt[5]{3}} \)

Lösung

  1. gleiche Wurzeln zusammenfassen: \(\left(-2\right) \cdot \sqrt{2}\) 
  2. Wurzelgesetz: \(\sqrt[3]{\frac{32}{4}}=\sqrt[3]{8}=2\)
  3. Wurzelgesetz: \(\frac{1}{\sqrt[5]{81 \cdot3}} = \frac{1}{\sqrt[5]{243}} = \frac{1}{3}\) 

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  2

Aufgabe 4

Vereinfache die Wurzelterme. Gib jeweils die Definitionsmenge an.

  1. \(\sqrt[6]{x^5 y^3z} \cdot \sqrt[6]{x^7 y^3 z^5}\)
  2. \(\sqrt{\frac{1}{16}x^2-\frac{1}{6}xy + \frac{1}{9}y^2}\)
  3. \(\sqrt{1-\sqrt{a}} \cdot \sqrt{1+\sqrt{a}}\)
  4. \(\sqrt[n]{\frac{a^{n+2} b^{n+2}}{a^2 b^2}}\) 

Lösung

  1. \(x^2yz; \ D = \left\{{x,\ y,\ z \ | \ x \geq 0; \ y \geq 0; \ z \geq 0}\right\}\)
  2. \(\sqrt{\left(\frac{1}{4}x -\frac{1}{3}y\right)^2} = |\frac{1}{4}x -\frac{1}{3}y \ |; \ D = \mathbb{R}\)
  3. \(\sqrt{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}=\sqrt{1-a}; \ D = \left\{a \ | \ 0 \leq a \leq 1\right\}\)
  4. \(ab; \ D = \left\{ab \ | \ ab > 0\right\}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Ermittle die Logarithmen. Überprüfe dein Ergebnis, indem du dem umgekehrten Weg nachgehst.

  1. \(\log_210\)
  2. \(\log_21024\)
  3. \(\log_20,25\)
  4. \(\log_20,01\)
  5. \(\log_416\)
  6. \(\log_327\)
  7. \(\log_57,6\)
  8. \(\log_{0,6}5,2\) 

Lösung

  1. 3,32
  2. 10
  3. -2
  4. -6,64
  5. 2
  6. 3
  7. 1,26
  8. -3,23

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Löse folgende Gleichungen.

  1. \(3^x=27\)
  2. \(7 \cdot 2^x=140\)
  3. \(0,5^{2x} + 3=78\)
  4. \(4^{x+3}=27\)
  5. \(5+3^x=27\)
  6. \(3,5^{2x+1}=3^{2-x}\)

Lösung

  1. \(x = 3\)
  2. \(x = 4,32\)
  3. \(2x \ \cdot \lg{0,5} = \lg{75}; \ x=-3,114\)
  4. \(x = -0,623\)
  5. \(x = \frac{\lg{22}}{\lg{3}}; \ x=2,81\)
  6. \(\left(2x+1\right) \lg{3,5} = \left(2-x\right) \lg{3};\ x\left(2\lg{3,5} + \lg{3}\right)= 2\lg{3} - \lg{3,5}; \ x=0,262\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 7

Löse folgende Logarithmusgleichungen.

  1. \(\log^8x=0\)
  2. \(\log^4x=4\)
  3. \(\log^{16}x=0,5\)
  4. \(\log^7x=1\)
  5. \(3 \cdot \log^2 \left(x+2\right)=10\)
  6. \(\lg2x=4\)

Lösung

  1. \(x=1\)
  2. \(x=256\)
  3. \(x=4\)
  4. \(x=7\)
  5. \(x=8,079\)
  6. \(x=5000\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  3
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