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Funktionen: Symmetrie und Grenzwert (1)


Aufgabe 1

Bestimme folgende Grenzwerte:

a) \(\lim\limits_{x \rightarrow \ -\infty}\frac{3x\ -\ 5}{2x\ +\ 1}\)

b) \(\lim\limits_{x \rightarrow \ \infty}\frac{x\ +\ 2}{x^2\ -\ 9}\)

c) \(\lim\limits_{x \rightarrow \ \infty}\frac{3\ -\ x^2}{4x\ +\ 2}\)

Lösung

a) \(\lim\limits_{x \rightarrow \ -\infty}\frac{3x\ -\ 5}{2x\ +\ 1}=\lim\limits_{x \rightarrow \ -\infty}\frac{x\left(3\ -\ \frac{5}{x}\right)}{x\left(2\ +\ \frac{1}{x}\right)}=\frac{3}{2}\)

b) \(\lim\limits_{x \rightarrow \ \infty}\frac{x\ +\ 2}{x^2\ -\ 9}=\lim\limits_{x \rightarrow \ \infty}\frac{x^2\left(\frac{1}{x}\ +\ \frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1\ -\ \frac{9}{x^2}\right)}=0\)

c) \(\lim\limits_{x \rightarrow \ \infty}\frac{3\ -\ x^2}{4x\ +\ 2}=\lim\limits_{x \rightarrow \ \infty}\frac{x\left(\frac{3}{x}\ -\ x\right)}{x\left(4\ +\ \frac{2}{x}\right)}=-\infty\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Die folgenden Graphen sind aus Graphen der Funktionen \(f_1(x)=x^2\)\(f_2(x)=x^3\)\(f_3(x)=\frac{1}{x}\)\(f_4(x)=\sin(x)\) hervorgegangen. Wie lauten jeweils die Terme der zugehörigen Funktionen?

Funktionen: Symmetrie und Grenzwert (1) - Abbildung 1 Funktionen: Symmetrie und Grenzwert (1) - Abbildung 2  Funktionen: Symmetrie und Grenzwert (1) - Abbildung 3  Funktionen: Symmetrie und Grenzwert (1) - Abbildung 4 

Lösung

Graph A: \(g_1(x)=\frac{1}{x\ -\ 2}-3\)

Graph B: \(g_2(x)=(x+1)^2+1\)

Graph C: \(g_3(x)=(x-3)^3+2\)

Graph D: \(g_4(x)=\sin(x+\frac{\pi}{6})-0,5\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=\frac{1}{32}x^4-\frac{3}{4}x^2-2x\). Zeige anhand des Monotonieverhaltens, dass die Funktion außer \(x = 0\) genau noch eine weitere Nullstelle besitzt.

Lösung

1. Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen

\(f'(x)=\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{2}x-2=0\)

Mittels Probieren: \(x=4\)

Polynomdivision:

  \(\left(\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{2}x-2\right):\left(x-4\right)=\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)

\(-(\frac{1}{8}x^3-\frac{1}{2}x^2)\)

              \(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x\)

          \(-(\frac{1}{2}x^2-2x)\)

                     \(\frac{1}{2}x-2\)

                 \(-(\frac{1}{2}x-2)\)

Weitere Nullstellen: \(\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=0\)

\(x_{1/2}=\frac{-\frac{1}{2}\ \pm\ \sqrt{\frac{1}{4}\ -\ \frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}}=-2\)

2. Monotonietabelle erstellen

  \(x<\) −2 \(<x<\) 4 \(<x\)
\(f'(x)\) negativ   negativ   positiv
\(G_f\) fällt   fällt   steigt

3. Begründung

Da der Graph von f vor \(x = 0\) fällt, muss er von oben kommen. Da er zwischen \(x = 0\) und \(x = 4\) weiter fällt, ist die Funktion in diesem Bereich negativ. Ab \(x = 4\) steigt der Graph nur noch, deshalb muss es genau noch eine Nullstelle geben, die größer als 4 ist.

Du weißt nicht mehr, wie das geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  15 Minuten
  • Punkte:  9

Aufgabe 4

Für eine Funktion h gilt: \(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\), wobei f eine gerade und g eine ungerade Funktion ist. Bestimme rechnerisch, ob h eine gerade oder eine ungerade Funktion ist.

Lösung

\(h(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{f(x)}{-g(x)}=-h(x)\)

Damit ist h eine ungerade Funktion.

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  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  4 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Bestimme, ob der Graph der Funktion f achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist oder keine der beiden Symmetrien aufweist.

Bei Spiegelung an der x-Achse entsteht aus \(G_f\) der Graph \(G_g\), bei Spiegelung von \(G_f\) an der y-Achse der Graph \(G_h\) und bei Spiegelung von \(G_f\) am Ursprung der Graph \(G_u\).

Gib jeweils die Terme \(g(x),\ h(x)\) und \(u(x)\) an.

a) \(f(x)=0,5x^2-4\)

b) \(f(x)=x^3+1\)

c) \(f(x)=x^2 \sin(x)\)

Lösung

a) Alle Exponenten der ganzrationalen Funktion f sind gerade, deshalb ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur y-Achse.

   \(g(x)=-f(x)=-0,5x^2+4\)        

   \(h(x)=f(-x)=0,5(-x)^2-4=0,5x^2-4\)

  \(u(x)=-f(-x)=-0,5(-x)^2+4=-0,5x^2+4\)

b) \(f(x)=x^3+1x^0\) \(\Rightarrow\) Die Funktion f enthält sowohl gerade als auch ungerade Exponenten von x. Deshalb besitzt ihr Graph keine Symmetrie zum Koordinatensystem.

   \(g(x)=-f(x)=-x^3-1\)

   \(h(x)=f(-x)=(-x)^3+1=-x^3+1\)

  \(u(x)=-f(-x)=-(-x)^3-1=x^3-1\)

c) \(f(-x)=(-x)^2 \sin(-x)=x^2(-\sin(x))=-f(x)\) \(\Rightarrow\) Damit ist \(G_f\) punktsymmetrisch zum Ursprung.

   \(g(x)=-f(x)=-x^2\sin(x)\)

   \(h(x)=f(-x)=(-x)^2\sin(-x)=-x^2\sin(x)\)

  \(u(x)=-f(-x)=-(-x)^2\sin(-x)=x^2\sin(x)\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6
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