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Exponentialfunktion und Logarithmus (3)


Aufgabe 1

Stelle die zugehörige exponentielle Wachstumsfunktion \(f(x) = a·b^x\) auf und zeichne die Funktion in das Koordinatensystem ein.

  1. Der Anfangsbestand beträgt 2 und wächst jedes Jahr um 20 %.
  2. Der Anfangsbestand beträgt 6 und fällt jedes Jahr um 40 %.

Exponentialfunktion und Logarithmus (3) - Abbildung 1

Lösung

  1. \(a = 2\) und \(b=1+\frac{20}{100}=1,2\) \(\Rightarrow f(x)=2 \cdot 1,2^{x}\)
  2. \(a = 6\) und \(b=1-\frac{40}{100}=0,6\) \(\Rightarrow f(x)=6 \cdot 0,6^{x}\)

Exponentialfunktion und Logarithmus (3) - Abbildung 2

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

In dem folgenden Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x)=(\frac{1}{2})^x\) bereits eingezeichnet. Skizziere in dasselbe Koordinatensystem die Graphen der Funktionen \(g(x)=3\cdot(\frac{1}{2})^x\), \(h(x)=(\frac{1}{2})^{x\ +\ 3}\) und \(i(x)=(\frac{1}{2})^x+3\). Wie entstehen die Graphen von g, h und i aus dem Graphen zu f?

Exponentialfunktion und Logarithmus (3) - Abbildung 3

Lösung

Exponentialfunktion und Logarithmus (3) - Abbildung 4

\(g(x)=3\cdot(\frac{1}{2})^x\) entsteht durch Streckung mit dem Faktor 3 in Richtung der y-Achse.

\(h(x)=(\frac{1}{2})^{x\ +\ 3}\) entsteht durch Verschiebung parallel zur x-Achse.

\(i(x)=(\frac{1}{2})^x+3\) entsteht durch Verschiebung parallel zur y-Achse.

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  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 3

In einem Krankenhaus hat man die Verunreinigung der Türklinken mit einem ansteckenden Keim festgestellt. Der Keim verbreitet sich nach wissenschaftlichen Studien entsprechend der Funktion \(f(x)=1,8^x\). Die Krankenhausleitung lässt alle Türklinken untersuchen und stellt eine Verunreinigung bei 25 % aller Türklinken fest. Wie viel Prozent der Türklinken sind zum Zeitpunkt der Bekanntgabe der Ergebnisse schon verunreinigt, wenn die Auswertung der Untersuchung 4 Tage gedauert hat?

Lösung

Tag 1: \(0,25 \cdot 1,8^1=0,45%\)

Tag 2: \(0,25 \cdot 1,8^2=0,81\)

Tag 3: \(0,25 \cdot 1,8^3=1,458\)

Die Krankenhausleitung hätte sich die Untersuchung sparen können. Da der Wachstumsfaktor der Verbreitung 1,8 beträgt, sind bereits nach 3 Tagen alle Türklinken belastet.

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Tom ist fast 18 Jahre alt und hat sich fest vorgenommen, dass er sich mit 40 Jahren eine schicke Wohnung für mindestens 150.000 Euro kaufen will. Er plant sein bisher erspartes Geld, sein Geburtstagsgeld und sein Abigeld auf ein Konto einzuzahlen und dann bis zu seinem 40. Geburtstag zu warten. Wie viel Geld muss Ralf an seinem 18. Geburtstag bei der Bank einzahlen, wenn er eine jährliche Verzinsung von 5,5 % von seiner Bank erhält, damit es tatsächlich 150.000 Euro werden?

Lösung

Gegeben:

  • Exponentielles Wachstum mit der allgemeinen Funktionsgleichung \(f(x) = a\cdot b^{x}\).

  • \(b = 1+\frac{5,5}{100}= 1,055\)
  • \(x = 22\), da Ralf vom 18. Geburtstag bis zum 40. Geburtstag sparen will.
  • \(y = 150.000\)

Gesucht:

  • Anfangsbestand a

\(f(x) = a\cdot b^{x}\) ⇒ \(150.000 = a\cdot 1,055^{22}\) ⇔ \(a = \frac{150.000}{1,055^{22}} = 46.188,85\)

Ralf müsste mindestens 46.188,85 Euro auf das Konto einzahlen, damit er an seinem 40. Geburtstag 150.000 Euro erhält.

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Wende die Logarithmengesetze an und vereinfache die Terme.

  1. ​​​​\(-log_a(\frac{1}{x})\)
  2. \(log_b(\frac{a}{\sqrt{a²b}})+\frac{1}{2}\)
  3. \(2\cdot log_c(2x)-log_c(x)\)

Lösung

  1. \(log_a(x)\)
  2. \(log_b(\frac{a}{a\sqrt{b}})+\frac{1}{2}=log_b(\frac{1}{\sqrt{b}})+\frac{1}{2}=log_b (b^{-\frac{1}{2}})+\frac{1}{2}=0\)
  3. \( log_c(2x)²-log_c(x)= log_c(4x)\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 6

Löse die Exponentialgleichung​ \(0,5^{ x^2} = 0,5^{-x}\).

Lösung

\(0,5^{ x^2} = 0,5^{-x}\)

\(\Leftrightarrow x^2 = -x \Leftrightarrow x^2 + x = 0\)

\( \Leftrightarrow x(x+1) = 0\)

\(\Rightarrow x_1 = 0;\ x_2 = -1\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3
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