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Ableitung (1)


Aufgabe 1

Auf einer Autobahn wurde während der Urlaubszeit an einer Baustelle die Staulänge l in Abhängigkeit von der Zeit t gemessen. Die Staulänge kann näherungsweise durch die Funktion  \(l(t)=\frac{1}{5}t²+2t-1\) dargestellt werden.

(1 Längeneinheit: 1 km, 1 Zeiteinheit: 1 h)

  1. Berechne die Länge des Staus nach 3 Stunden.
  2. Wie stark ist der Stau in der 2. bis 4. Stunde durchschnittlich angestiegen?

Lösung

a) \(l(3)=\frac{1}{5}\cdot 3²+2\cdot 3-1=\frac{9}{5}+6-1=6,8 \)

Der Stau ist nach 3 Stunden 6,8 km lang.

b) \(\frac{l(4)\ -\ l(2)}{4\ -\ 2}=\frac{10,2\ -\ 3,8}{4\ -\ 2}=3,2\)

Der Stau verlängert sich durchschnittlich um 3,2 km.

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

  1. Bestimme grafisch die mittlere Änderungsrate bzw. den Differenzenquotienten der folgenden Funktion im Intervall [−1;−0,5].
  2. Skizziere die Ableitungsfunktion f' in demselben Koordinatensystem.

Ableitung (1) - Abbildung 1

Lösung

a)

Ableitung (1) - Abbildung 2

Differenzenquotient: \(\frac{f(x_{2})\ -\ f(x_{1})}{x_{2}\ -\ x_{1}}\) \(=\frac{f(-0,5)\ -\ f(-1)}{-0,5\ -\ (-1)}=\frac{1\ -\ 2}{-0,5\ -\ (-1)}=\frac{-1}{0,5}=-2\)

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b)

Ableitung (1) - Abbildung 3

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  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  11 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 3

Gib jeweils die Ableitungsfunktion an. Verwende im Ergebnis nur positive Exponenten.

  1. \(f(x)=4x^{5}-0,5x^{3}+3x^{2}-7\)
  2. \(g(x)=x+\frac{4}{x}\)
  3. \(h(x)=-x^{2}+4\sqrt{x}\)
  4. \(i(x)=2(x-2)^{2}+3\)

Lösung

  1. \(f'(x)=20x^{4}-1,5x^{2}+6x\)
  2. \(g(x)=x+4\cdot x^{-1}\) \(\Rightarrow g'(x)=1+4\cdot(-1\cdot x^{-2})=1-\frac{4}{x^{2}}\)
  3. \(h(x)=-x^{2}+4\cdot x^{\frac{1}{2}}\) \(\Rightarrow h'(x)=-2x+4(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})=-2x+4(\frac{1}{2\sqrt{x}})=-2x+\frac{2}{\sqrt{x}}\)
  4. \(i(x)=2x²-8x+11\) \(\Rightarrow i'(x)=4x-8\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  11 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 4

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{4}x^{3}-x^{2}+\frac{1}{2}x\). Gib die Gleichung der Tangente an die Funktion f an der Stelle \(x = -2\) an.

Lösung

\(f'(x)=\frac{3}{4}x^{2}-2x+\frac{1}{2}\)

\(f(-2)=\frac{1}{4}(-2)^{3}-(-2)^{2}+\frac{1}{2}(-2)=-2-4-1=-7\)

\(f'(-2)=\frac{3}{4}(-2)^{2}-2(-2)+\frac{1}{2}=3+4+\frac{1}{2}=7,5=m\)

\(\Rightarrow t(x)=m\cdot x+n \Rightarrow -7=7,5 \cdot (-2)+n \Rightarrow n=8\)

\(\Rightarrow t(x)=7,5x+8\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 5

  1. Bestimme die ursprüngliche Funktion der Ableitungsfunktion \(f'(x)=2x^{3}+x²-1\).
  2. Begründe, warum es unendlich viele Ursprungsfunktionen gibt.

Lösung

  1. \(f(x)=\frac{1}{2}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-x\)
  2. Da jedes Absolutglied (konstanter Faktor) beim Ableiten wegfällt, unterscheiden sich die Ursprungsfunktionen nur um einen konstanten Faktor. Alle Funktionen \(f(x)=\frac{1}{2}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-x+k\)  haben als Ableitungsfunktion \(f'(x)=2x^{3}+x²-1\).

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  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  4
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