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Abi 2015 Stochastik TeilB AG1


Aufgabe 1

Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen \(5\) bzw. \(2\) beschriftet sind (vgl. Abbildung). Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann  also die Werte \(4\), \(10\) oder \(25\) annehmen. Die Zahl \(5\) wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) erzielt. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht. 

Abi 2015 Stochastik TeilB AG1 - Abbildung 1

a) Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von \(10\ \%\) erhält. (Ergebnis: \(2p-2p^2\))

(3 BE)

b) Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) gilt: \(E(X)=9p^2+12p+4\)

(3 BE)

c) Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von \(16\ \%\) gewähren. Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit \(p\)

(3 BE)

d) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt \(\frac 1 9\). Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(99\ \%\) mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.

(4 BE)

Lösung

a)

Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde einen Rabatt von 10 % erhält

Mit der Wahrscheinlichkeit \(\), dass die Zahl \(5\) erzielt wird, lässt sich das Baumdiagramm erstellen:

Abi 2015 Stochastik TeilB AG1 - Abbildung 2

Die Pfadregeln liefern:

\(P(\text{"Rabatt}\ 10\ \%")=(1-p)\cdot p+p\cdot(1-p)\\=2p\cdot(1-p)=2p-2p^2\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder  hier.

b)

Erwartungswert beweisen

Die Berechnung des Erwartungswerts liefert:

\(\begin{array}\\ E(X)&=&\sum_{i=1}^3\ x_i\cdot p_i\\ &=&4\cdot(1-p)^2+10\cdot 2p\cdot(1-p)+25\cdot p^2\\ &=&4\cdot(1-2p+p^2)+10\cdot(2p-2p^2)+25\cdot p^2\\ &=&4-8p+4p^2+20p-20p^2+25p^2\\ &=&9p^2+12p+4 \end{array}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

c)

Wahrscheinlichkeit p berechnen

Jetzt ist der Erwartungswert festgelegt und p soll berechnet werden.

\(\begin{array}\\ E(X)&=&9p^2+12p+4&=&16&\mid-16\\ &=&9p^2+12p-12&=&0\\ p_{1,2}&=&\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot9\cdot(-12)}}{2\cdot9}&\Rightarrow&p_1=\frac 2 3,&p_2=-2 \end{array}\)

Ergebnis

Nur \(p_1=\frac 2 3\) kommt als Wahrscheinlichkeit in Frage, da jede Wahrscheinlichkeit größer als null sein muss.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

d)

Anzahl der Kunden bestimmen

Lösen der „Mindestens-Aufgabe“ mit einem Ungleichungssystem liefert die Länge der Bernoulli-Kette:

\(\begin{array}\\ P\ (\text{"mindestens einmal niedrigster Rabatt"})>0,99&\text{bzw.} \ P(X\ge1)>0,99\\ 1-P\ (\text{"keinmal niedrigster Rabatt"})>0,99&\text{bzw.} \ 1-P(X=0)>0,99\\ \end{array}\)

\(\begin{array}\\ 1-\left(\frac 8 9\right)^n&>&0,99&\mid-1;\ \cdot(-1)\\ \left(\frac 8 9\right)^n&<&0,01&\mid ln\\ n\cdot ln \frac 8 9&<&ln\ (0,01)&\mid\ : ln\frac 8 9 \quad(ln\frac 8 9<0,\text{also Ungleichheitszeichen umdrehen})\\ n&>&\frac{ln\ (0,01)}{ln\frac 8 9} \approx 39,1\end{array}\)

Ergebnis

Es müssen mindestens \(40\) Kunden am Glücksrad drehen, bis mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(99\ \%\) mindestens einer den niedrigsten Rabatt bekommt.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Punkte:  13

Aufgabe 2

Eine der Filialen der Handelskette befindet sich in einem Einkaufszentrum, das zu Werbezwecken die Erstellung einer Smartphone-App in Auftrag geben will. Diese App soll die Kunden beim Betreten des Einkaufszentrums über aktuelle Angebote und Rabattaktionen der beteiligten Geschäfte informieren. Da dies mit Kosten verbunden ist, will der Finanzchef der Handelskette einer Beteilung an der App nur zustimmen, wenn mindestens \(15\ \%\) der Kunden der Filiale bereit sind, diese App zu nutzen. Der Marketingchef warnt jedoch davor, auf eine Beteiligung an der App zu verzichten, da dies zu einem Imageverlust führen könnte. Um zu einer Entscheidung zu gelangen, will die Geschäftsführung der handelskette eine der beiden folgenden Nullhypothesen auf der Basis einer Befragung von 200 Kunden auf einem Signifikanzniveau von \(10\ \%\) testen:

\(\mathrm{I}\)  "Weniger als \(15\ \% \) der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."

\(\mathrm{II}\) "Mindestens \(15\ \% \) der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."

a) Nach Abwägung der möglichen Folgen, die der Finanzchef und der Marketingchef aufgezeigt haben, wählt die Geschäftsführung für den Test die Nullhypothese \(\mathrm{II}\). Bestimmen Sie die dazugehörige Entscheidungsregel.

(4 BE)

b) Entscheiden Sie, ob bei der Abwägung, die zur Wahl der Nullhypothese \(\mathrm{II}\) führte, die Befürchtung eines Imageverlusts oder die Kostenfrage als schwerwiegender erachtet wurde. Erläutern Sie ihre Entscheidung.

(3 BE)

Lösung

Gegeben sind die Hypothesen:

\(\mathrm{I}\)  "Weniger als \(15\ \% \) der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."

\(\mathrm{II}\) "Mindestens \(15\ \% \) der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."

a)

Bestimmen der Entscheidungsregel

\(\begin{array}{lrl}\\ T&&=&\text{"Kunde ist bereit, die App zu benutzen"}&\text{(Treffer)}\\ H_0:&p&\ge&15\ \%&\text{(Nullhypothese)}\\ n&&=&200&\text{(Anzahl der Züge)}\\ A&&=&\{k+1;...;200\}&\text{(Annahmebereich)}\\ \overline A&&=&\{0;...;k\}&\text{(Ablehnungsbereich)}\\ \alpha&&=&10\ \%&\text{(Signifikanzniveau)}\\ \text{Ziel}:&P^{200}_{0,15}(X\in\overline A)&\le&0,01&\text{(Fehler 1.Art)}\\ &P^{200}_{0,15}(X\le k)&\le& 0,1\\ \text{Tafel}:&P^{200}_{0,15}(X\le 24)&\approx&0,13\ \ \quad>0,1\\ &P^{200}_{0,15}(X\le 23)&\approx&0,096\quad\le0,1 \end{array}\)

also \(k=23;\ A=\{24;...;200\}\) und \(\overline A=\{0;...;23\}\)

Ergebnis

Entscheidungsregel: Wenn bis zu \(23\) Kunden bereit sind, die App zu benutzen, ist die Hypothese abzulehnen und die App nicht in Auftrag zu geben. Bei \(24\) oder mehr Kunden, die bereit sind, die App zu benutzen, ist die Hypothese anzunehmen und die App zu erstellen.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Hypothesenwahl erläutern

Problem 1: Imageverlust, wenn auf die App verzichtet wird, obwohl viele sie wünschen
Problem 2: unnötige Kosten, wenn die App erstellt wird, obwohl nicht viele sie wünschen
Die benutzte Hypothese II ist wahr, wenn viele Kunden die App wünschen. Der durch das Signifikanzniveau begrenzte Fehler 1. Art bedeutet also, die App nicht einzuführen, obwohl viele Kunden sie wünschen. Das beschreibt das Problem 1, den Imageverlust. Dieser wurde also als schwerwiegender erachtet.

  • Punkte:  7
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