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Abi 2015 Stochastik TeilA AG2


Aufgabe 1

In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Aus dieser wird achtmal eine Kugel zufällig gezogen, die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder zurückgelegt.

a) Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln bezogen.“ berechnet werden kann.

(2 BE)

b) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den angegebenen Term berechnet werden kann.

\(\alpha)\quad1-\begin{pmatrix}\frac 3 5\end{pmatrix}^8\)

\(\beta)\quad\begin{pmatrix}\frac 3 5\end{pmatrix}^8+8\cdot \frac 2 5\cdot \begin{pmatrix}\frac 3 5\end{pmatrix}^7\)

(3 BE)

Lösung

a)

E: „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen.“ 

„Gleich viele rote und blaue Kugeln“ bedeutet: je vier Kugeln. Es handelt sich um eine Bernoullikette, z.B. mit Treffer = „rote Kugel“ und \(p = 0,4\).

\(P\text{(„gleich viele rote und blaue Kugeln“)}=P_{0,4}^8(X=4)=\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}\cdot 0,4^4\cdot 0,6^6\)

Anmerkung: Es ist kein Ergebniswert, sondern nur ein Term ohne Herleitung gefragt.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term α)  berechnet werden kann

\(\frac 3 5 = \frac 6 {10}\)ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine blaue Kugel gezogen wird.

\(\begin{pmatrix}\frac 3 5\end{pmatrix}^8\)ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass achtmal hintereinander eine blaue Kugel gezogen wird. 

\(1-\begin{pmatrix}\frac 3 5\end{pmatrix}^8\) ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses dazu, also von dem Ereignis:
„Bei achtmaligem Ziehen mit Zurücklegen wird mindestens eine rote Kugel gezogen.“

Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term β)  berechnet werden kann

\(\begin{pmatrix}\frac 3 5\end{pmatrix}^8\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass achtmal hintereinander eine blaue Kugel gezogen wird.

\(8\cdot\frac 2 5\cdot \begin{pmatrix}\frac 3 5\end{pmatrix}^7\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine rote und sieben blaue Kugeln gezogen werden. Das \(‚+‘\) dazwischen drückt ein Oder-Ereignis aus: 

\(\begin{pmatrix}\frac 3 5\end{pmatrix}^8+8\cdot\frac 2 5\cdot \begin{pmatrix}\frac 3 5\end{pmatrix}^7\) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses: „Bei achtmaligem Ziehen mit Zurücklegen wird höchstens eine rote Kugel gezogen.“

Anmerkung: Die Herleitung ist bei der Fragestellung nicht erforderlich. Beide Terme kann man sich auch gut an einem Baumdiagramm mit gleichbleibenden Wahrscheinlichkeiten visualisieren.

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  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße \(X\) festgelegt, welche die drei Werte -2, 1 und 2 annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) dargestellt.

a) Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\).

(2 BE)

Abi 2015 Stochastik TeilA AG2 - Abbildung 1

b) Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße \(X\) notiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist.

(3 BE)

Lösung

a)

Erwartungswert der Zufallsgröße X ermitteln

Die Abbildung zeigt für die Wahrscheinlichkeiten die Werte: \(0,25;\ 0,25;\ 0,5\).

\(E(X)=\sum_{i=1}^3p_i\cdot x_i=0.25\cdot(-2)+0,25\cdot 1+0,5\cdot2=0,75\)

Ergebnis

Der Erwartungswert der Zufallsgröße beträgt \(0,75\).

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b)

Wahrscheinlichkeit für negative Summen bestimmen

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(Y=\) „Summe bei zweimaliger Durchführung“:

\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Paare}(x_i,x_i)&(-2;-2)&(-2;1)&(-2;2)&(1;-2)&(1;1)&(1;2)&(2;-2)&(2;1)&(2;2)\\ \hline y_1=\text{Summe}&-4&-1&0&-1&2&3&0&3&4\\ \hline P_i&\frac 1 4 \cdot \frac 1 4=\frac 1 {16}&\frac 1 4 \cdot \frac 1 4=\frac 1 {16}&&\frac 1 4 \cdot \frac 1 4=\frac 1 {16}&&&&&\\\hline \end{array}\)

\(P\text{(„negative Summe“) }=3\cdot\frac 1{16}=\frac 3{16}=18,75\ \%\)

Ergebnis

Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(18,75\ \%\) ist die Summe der Werte der Zufallsgröße negativ.

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  • Punkte:  5
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