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Abi 2015 Geometrie TeilA AG2


Aufgabe 1

Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A\ (0\mid1\mid2)\) und \(B\ (2\mid5\mid6)\).

a) Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand \(6\) haben.

Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von jeweils den Abstand \(12\). Bestimmen Sie die Koordinaen von \(C\) und \(D\).

(3 BE)

b) Die Punkte \(A\),\(B\) und \(E\) \((1\mid2\mid5)\) sollen mit einem weitern Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.

(2 BE)

Lösung

a)

Abstand der Punkte prüfen

\(\begin{array}\\d(A,B)&=\left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert= \left\vert\overrightarrow B-\overrightarrow A\right\vert= \left\vert\left(\begin{array}\\2\\5\\6\end{array}\right)-\left(\begin{array}\\0\\1\\2\end{array}\right)\right\vert=\left\vert\left(\begin{array}\\2\\4\\4\end{array}\right)\right\vert\\ &=\sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{36}= 6\ [LE]&\end{array}\)

Ergebnis

Die Punkte \(A\) und \(B\) haben einen Abstand von \(6\ [LE]\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Punkte C und D bestimmen

Die Punkte \(C\) und \(D\) sollen auf der Geraden \(g\) liegen und jeweils den Abstand \(12 \) von \(A\) haben.

Die Gerade \(g=AB\) hat die Gleichung \(g:\vec{X}=\vec{A}+\lambda\cdot \vec{AB}=\left(\begin{array}\\0\\1\\2\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}\\2\\4\\4\end{array} \right)\) mit \(\left\vert \overrightarrow{AB}\right\vert=6 \ [LE]\).

Also erfüllen die Punkte mit den Ortsvektoren \(\vec{A}\pm2 \cdot \overrightarrow{AB}\) die gestellte Forderung, denn \(\vert 2 \cdot \overrightarrow{AB}\vert= 2\cdot \vert\overrightarrow{AB}\vert=2\cdot 6=12\ [LE]\) ist ihr Abstand von A:

\(\overrightarrow C=\overrightarrow A+2\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\\10\end{pmatrix}\Rightarrow \ C(4\mid 9 \mid 10)\)

\(\overrightarrow D=\overrightarrow A-2\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}-2\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-7\\-6\end{pmatrix}\Rightarrow \ D(-4\mid -7 \mid -6)\)

Ergebnis

Die gesuchten Punkte haben die Koordinaten \(C( 4\mid 9\mid 10)\) und \(D( -4\mid -7\mid -6)\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Die Punkte \(A\)\(B\) und \(E\ (1\mid 2\mid 5)\) sowie ein weiterer Punkt sollen die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden.

Den vierten Eckpunkt angeben

Der vierte Eckpunkt sei \(F\).

1.Möglichkeit

Im Parallelogram\( ABEF_1\) gilt: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{F_1E}=\overrightarrow E - \overrightarrow {F_1}\).

\(\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{E}-\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}\Rightarrow F_2(-1\mid -2\mid 1)\)

2.Möglichkeit

Analog ist im Parallelogram\( ABF_2E\)\(\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{E}+\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}\Rightarrow F_2(3\mid 6\mid 9)\)

Ergebnis:

Mögliche Koordinaten des vierten Eckpunkts \(F\) lauten \(F_1(-1\mid -2\mid 1)\) bzw. \(F_2(3\mid 6\mid 9)\)

Anmerkung: Es sind nur die Koordinaten der Punkte gefragt, keine Berechnung oder Herleitung. Der dritte mögliche Punkt \(F_3(1 \mid 4\mid 3)\).

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt die Pyramide \(ABCDS\) mit quadratischer Grundfläche \(ABCD\). De Pyramide ist eine Stufenpyramide einbeschrieben, die aus Würfeln mit der Kantenlänge \(1\) besteht.

a) Geben Sie das Volumen der Stufenpyramide und die Höhe der Pyramide \(ABCDS\) an.

(2 BE)

b) Bestimmen Sie unter der Verwendung eines geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystems eine Gleichung für die Gerade, die durch die Punkte \(B\) und \(S\) verläuft. Zeichnen Sie das gewählte Koordinatensystem in die Abbildung ein. 

(3 BE)

Lösung

a)

Volumen der Stufenpyramide angeben

Die Stufenpyramide besteht laut Abbildung aus \(25 + 9 + 1 = 35\) Würfeln, die laut Angabe eine Kantenlänge von \(1\) \(LE\) haben.

Ergebnis 

Die Stufenpyramide hat ein Volumen von \(35\) \(VE\)

Höhe der Pyramide ABCDS angeben

Die Höhe der Pyramide \(ABCDS\) kann man aus der Anordnung der Würfelfolgern, die bündig aufeinander stehen. Die Seitenflächen der Pyramide haben somit einen Neigungswinkel von \(45°\) gegenüber dem Boden und treffen sich eine halbe Würfelhöhe über dem obersten Würfel.

Ergebnis

Die Pyramide \(ABCDS\) ist \(3,5\) \(LE\) hoch.

Anmerkung: Eine Herleitung der Ergebnisse ist bei dieser Fragestellung nicht erforderlich.

b)

Kartesisches Koordinatensystem wählen

Ein kartesisches Koordinatensystem kann z.B. so gewählt werden, dass die \(x_3\)-Achse senkrecht durch \(S\) verläuft und der Ursprung im Boden liegt.

Zeichnung

Abi 2015 Geometrie TeilA AG2 - Abbildung 1

Gerade bestimmen, die durch die Punkte B und S verläuft

Mit dem gewählten Koordinatensystem sind \(B(3,5\mid3,5\mid0)\) und \(S(0\mid0\mid3,5)\).

Richtungsvektor der Geraden: \(\overrightarrow{BS} = \begin{pmatrix}0\\0\\3,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3,5\\3,5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3,5\\-3,5\\3,5\end{pmatrix}\)

Geradengleichung: \(g:\vec X=\vec S + \lambda\cdot \overrightarrow{BS}=\begin{pmatrix}0\\0\\3,5\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3,5\\-3,5\\3,5\end{pmatrix}\)

oder: \(g:\vec X=\begin{pmatrix}0\\0\\3,5\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Anmerkung: Das Koordinatensystem kann unterschiedlich gewählt werden. Die gezeigte Lösung ist weder für das Zeichnen noch für das Aufstellen der Geradengleichung eine sehr geschickte Variante. Es ist aber eine, die viele Schüler aufgrund der Symmetrie versuchen zu wählen.
Geschickter ist es, wenn die Achsen sichtbaren Linien folgen und wenn der Ursprung ein Eckpunkt der Pyramide ist. Eine einfache, aber von der Lage der Achsen her ungewöhnliche Wahl ist daher: Ursprung in B, \(x_1\)-Achse Richtung C, \(x_2\)-Achse Richtung A und \(x_3\)-Achse senkrecht hoch. Für die Geradengleichung kann dann der Ursprung \(B\) als Aufpunkt verwendet werden.

Richtungsvektor wäre dann z.B. \(\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Dann sieht das Bild so aus:

Abi 2015 Geometrie TeilA AG2 - Abbildung 2

  • Punkte:  5
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