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Abi 2015 Geometrie TeilA AG1


Aufgabe 1

Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A( 0 \mid 1 \mid 2)\) und \(B (2\mid 5\mid 6)\)

a) Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand \(6\) haben. Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von \(A\) jeweils den Abstand \(12\). Bestimmen Sie die Koordinaten von \(C\) und \(D\)

(3 BE)

b) Die Punkte \(A\), \(B\) und \(E (1\mid 2 \mid 5)\) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.

(2 BE)

Lösung

Gegeben ist die Gerade g, die durch die Pukte \(A( 0 \mid 1 \mid 2)\) und \(B (2\mid 5\mid 6)\)verläuft.

a)

Abstand der Punkte prüfen

\(\begin{array}\\d(A,B)&=\left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert= \left\vert\overrightarrow B-\overrightarrow A\right\vert= \left\vert\left(\begin{array}\\2\\5\\6\end{array}\right)-\left(\begin{array}\\0\\1\\2\end{array}\right)\right\vert=\left\vert\left(\begin{array}\\2\\4\\4\end{array}\right)\right\vert\\ &=\sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{36}= 6\ [LE]&\end{array}\)

Ergebnis

Die Punkte \(A\) und \(B\) haben einen Abstand von \(6\ [LE]\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Punkte C und D bestimmen

Die Punkte \(C\) und \(D\) sollen auf der Geraden \(g\) liegen und jeweils den Abstand \(12 \) von \(A\) haben.

Die Gerade \(g=AB\) hat die Gleichung \(g:\vec{X}=\vec{A}+\lambda\cdot \vec{AB}=\left(\begin{array}\\0\\1\\2\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}\\2\\4\\4\end{array} \right)\) mit \(\left\vert \overrightarrow{AB}\right\vert=6 \ [LE]\).

Also erfüllen die Punkte mit den Ortsvektoren \(\vec{A}\pm2 \cdot \overrightarrow{AB}\) die gestellte Forderung, denn \(\vert 2 \cdot \overrightarrow{AB}\vert= 2\cdot \vert\overrightarrow{AB}\vert=2\cdot 6=12\ [LE]\) ist ihr Abstand von A:

\(\overrightarrow C=\overrightarrow A+2\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\\10\end{pmatrix}\Rightarrow \ C(4\mid 9 \mid 10)\)

\(\overrightarrow D=\overrightarrow A-2\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}-2\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-7\\-6\end{pmatrix}\Rightarrow \ D(-4\mid -7 \mid -6)\)

Ergebnis

Die gesuchten Punkte haben die Koordinaten \(C( 4\mid 9\mid 10)\) und \(D( -4\mid -7\mid -6)\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(E\ (1\mid 2\mid 5)\) sowie ein weiterer Punkt sollen die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden.

Den vierten Eckpunkt angeben

Der vierte Eckpunkt sei \(F\).

1.Möglichkeit

Im Parallelogram\( ABEF_1\) gilt: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{F_1E}=\overrightarrow E - \overrightarrow {F_1}\).

\(\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{E}-\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}\Rightarrow F_2(-1\mid -2\mid 1)\)

2.Möglichkeit

Analog ist im Parallelogram\( ABF_2E\)\(\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{E}+\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}\Rightarrow F_2(3\mid 6\mid 9)\)

Ergebnis:

Mögliche Koordinaten des vierten Eckpunkts \(F\) lauten \(F_1(-1\mid -2\mid 1)\) bzw. \(F_2(3\mid 6\mid 9)\)

Anmerkung: Es sind nur die Koordinaten der Punkte gefragt, keine Berechnung oder Herlietung. Der dritte mögliche Punkt \(F_3(1 \mid 4\mid 3)\).

  • Punkte:  5

Aufgabe 2 

Betrachtet wird die Pyramide \(ABCDS\) mit \(A(0\mid 0\mid0),\ B(4\mid4\mid2), \ C(8\mid0\mid2),\ D(4\mid-4\mid0)\) und \(S(1\mid 1\mid-4)\). Die Grundfläche \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.

a) Weisen SIe nach, dass das Parallelogramm \(ABCD\) ein Rechteck ist.

(2 BE)

b) Die Kante \([AS]\) steht senkrecht auf der Grundfläche \(ABCD\). Der Flächenhinhalt der Grundfläche beträgt \(24\sqrt 2\). Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.

(3 BE)

Lösung

Gegeben ist die Pyramide \(ABCDS\) mit \(A(0\mid 0\mid0),\ B(4\mid4\mid2), \ C(8\mid0\mid2),\ D(4\mid-4\mid0)\) und \(S(1\mid 1\mid-4)\).

a)

Nachweisen, dass das Parallelogram ABCD ein Rechteck ist

Da schon bekannt ist, dass es sich um ein Parallelogram handelt, muss nur noch einer der vier Winkel auf \(90°\) geprüft werden. Das ist erfüllt, wenn das Skalarprodukt null ist.

\(\begin{array}\\ \overrightarrow {AB} \circ \overrightarrow {AD}&=(\vec B-\vec A) \circ(\vec D-\vec A)\\ &=\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 4\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 4\\-4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4\\4\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\-4\\0 \end{pmatrix}\\\\&=16-16+0=0\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}\perp\overrightarrow {AD}\end{array}\)

Ergebnis

Im Parallelogram stehen also zwei benachbarte Seiten senkrecht aufeinander. Deshalb handelt es sich um ein Rechteck.

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b)

Volumen der Pyramide ermitteln

Da die Kante [AS] senkrecht auf der Grundfläche steht, entspricht sie der Höhe der Pyramide.

\(h=\vert\overrightarrow{AS}\vert=\vert\vec S-\vec A\vert=\left\vert\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right\vert=\left\vert\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}\right\vert=\sqrt{1^2+^2(-4)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}[LE]\)

Für das Volumen gilt dann mit dem gegebenen Flächeninhalt der Grundfläche:

\(V=\frac 1 3\cdot G \cdot h= \frac 1 3\cdot 24\sqrt2\cdot3\sqrt2=24\cdot2=48\ [VE]\)

Ergebnis

Die Pyramide hat ein Volumen von \(48\ \text{VE}\).

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  • Punkte:  5
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