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Abi 2015 Geometrie Stochastik B2 GK


Aufgabe B 2.1

Gegeben sind die Ebene \(E:\;3x_1+6x_2+4x_3=16\) und eine Geradenschar durch \(g_a:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{c}5\\1\\1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}a\\1\\0\end{array}\right);\;a\in\mathbb{R}.\)

Aufgabe a)

Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden \(g_4\) mit der Ebene \(E\)
Welche Gerade der Schar ist orthogonal zu \(g_4\)?
(3 VP) 

Lösung

Schnittpunktbestimmung
Setze \(g_4\) in \(E\) ein:
\(3\cdot (5+4t)+6\cdot (1+t)+4\cdot 1=16.\)
Der GTR liefert: \(t=-\frac{1}{2}.\)
Den zugehörigen Schnittpunkt erhältst du durch einsetzen von \(t\) in \(g_4\): \(S(3|0,5|1).\)

Der gesuchte Schnittpunkt lautet \(S(3|0,5|1).\)

Orthogonalität
Sind zwei Geraden zueinander senkrecht, so ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null.
\(\left(\begin{array}{c}a\\1\\0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}4\\1\\0\end{array}\right)=0,\;\text{somit ist}\;a=-\frac{1}{4}.\)

Die gesuchte Gerade ist \(g_{-\frac{1}{4}}\).

Aufgabe b)

Berechnen Sie den Schnittwinkel von \(g_4\) und \(E\)
Für welche Werte von \(a\) mit \(-10\le a\le 10\) hat der Schnittwinkel von \(g_4\) und \(E\) die Weite 10°? 
(3 VP)

Lösung

Schnittwinkel gesucht

Der gesuchte Winkel berechnet sich mit Hilfe des Richtungsvektors der Geraden \(g_4\) und des Normalenvektors der Ebene \(E\).
\(\sin(\alpha)=\frac{\left|\left(\begin{array}{c}4\\1\\0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}3\\6\\4\end{array}\right)\right|}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{61}}.\)
Der GTR liefert:\(\alpha\approx 34,0°.\)

Der Schnittwinkel beträgt 34°.

Schnittwinkel gegeben
Der gesuchte Winkel berechnet sich mit Hilfe des Richtungsvektors der Geraden \(g_a\) und des Normalenvektors der Ebene \(E\):
\(\sin(10°)=\frac{\left|\left(\begin{array}{c}a\\1\\0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}3\\6\\4\end{array}\right)\right|}{\sqrt{a^2+1}\cdot\sqrt{61}}.\)
\(\Longrightarrow \left(\sqrt{a^2+1}\cdot\sqrt{61}\right)\cdot\sin(10°)=|3a+6|.\)
Der GTR liefert \(a_1\approx -3,76\) und \(a_2\approx -1,27\).

Ein Schnittwinkel von 10° erhält man also für \(a_1\approx -3,76\) und \(a_2\approx -1,27\).

Aufgabe c)

Begründen Sie, dass alle Geraden \(g_a\) in der Ebene \(F:\;x_3=1\) liegen. Es gibt eine Gerade \(h\), die durch den Punkt \(P(5/1/1)\) geht und in \(F\) liegt, aber nicht zur Schar gehört. 
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden \(h\).
(3 VP)

Lösung

Geraden in der Ebene
Da die \( x_3\)-Koordinate des Richtungsvektors aller Geraden \(g_a\) den Wert 0 hat, haben alle Punkte von \(g_a\) die \(x_3\)-Koordinate 1. Also liegen alle Geraden \(g_a\) in der Ebene \(F\).

Geradengleichung bestimmen
Eine Gerade \(h\), die die geforderten Eigenschaften aufweist, muss die \(x_3\)-Koordinate 1 besitzen. Außerdem müssen die beiden Richtungsvektoren von \(g_a\) und \(h\) linear unabhängig sein.

Eine Änderung in der \(x_2\)-Koordinate des Richtungsvektors von \(g_a\) auf null sorgt somit dafür, dass \(h\) keine Gerade der Schar \(g_a\) sein kann.

Eine mögliche Gerade \(h\) ist daher: \(h:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{c}5\\1\\1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\) mit \(s\in\mathbb{R}\).

Aufgabe B 2.2

Bei einem Biathlonwettbewerb läuft ein Athlet eine 2,5 km lange Runde, dann schießt er liegend fünf Mal; anschließend läuft er eine zweite Runde und schießt stehend fünf Mal; nach einer dritten Runde erreicht er das Ziel. Für jeden Fehlschuss muss er direkt nach dem Schießen eine 200 m lange Strafrunde laufen. Aufgrund der bisherigen Schießleistungen geht der Trainer davon aus, dass der Athlet stehend mit 88% und liegend mit 93% Wahrscheinlichkeit trifft. Es wird vereinfachend davon ausgegangen, dass die Ergebnisse der einzelnen Schüsse voneinander unabhängig sind.

Aufgabe a)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal trifft.
(1 VP)

Lösung

Die Zufallsvariable \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer beim Stehendschießen und ist binomialverteilt mit \(n=5\) und \(p=0,88\). Die Trefferwahrscheinlichkeit berechnet sich über:
\(P(X=4)=B(5;0,88;4).\)
Der GTR liefert: \(P(X=4)\approx 0,3598.\)

Der Athlet trifft stehend mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 36 % genau vier Mal.

Aufgabe b)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet im gesamten Wettbewerb höchstens einmal eine Strafrunde laufen muss. 
(3 VP)

Lösung

Die Zufallsvariable \(Y\) beschreibt die Anzahl der Fehlschüsse im Liegendschießen und ist binomialverteilt mit \(n=5\) und \(q=0,07\). Die Zufallsvariable \(Z\) beschreibt die Anzahl der Fehlschüsse im Stehendschießen und ist binomialverteilt mit \(n=5\) und \(q=0,12\).

Das Ereignis im gesamten Wettbewerb höchstens einen Fehlschuss zu erzielen kann auf drei verschiedene Varianten entstehen:

\(Z = 0\) und \(Y = 0\)

\(Z = 1\) und \(Y = 0\)

\(Z = 0\) und \(Y = 1\)

\(\begin{align} P_\text{1 FS}&=P(Z=0)\cdot P(Y=0)+P(Z=1)\cdot P(Y=0)+P(Z=0)\cdot P(Y=1)\\ &≈0,5277\cdot 0,6957+0,3598\cdot 0,6957+0,5277\cdot 0,2618\\ &≈0,756 \end{align}\)

Der Athlet muss mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 76 % höchstens einmal eine Strafrunde laufen.

Aufgabe c)

Der Athlet möchte seine Leistungen im Stehendschießen verbessern und künftig mit über 95% Wahrscheinlichkeit bei fünf Schüssen mindestens vier Mal treffen. 
Welche Trefferwahrscheinlichkeit muss er dafür mindestens erreichen? 
(2 VP)

Lösung

Die Zufallsvariable \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer beim Stehendschießen und ist binomialverteilt mit \(n=5\) und unbekanntem \(p\).
\(P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)=1-F(5;\,p;\,3).\)
Der GTR liefert: \(P(X\ge 4)\approx 0,9456\) für \(p=0,92\) und \(P(X\ge 4)\approx 0,9575\) für \(p=0,93\).

Der Athlet muss als Trefferwahrscheinlichkeit im Stehendschießen mindestens 93 % erreichen, um sein Ziel zu erlangen.

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