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Abi 2015 Analysis TeilA AG1


Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto (x^3-8) \cdot (2+\text{ln}\ x)\) mit maximalen Definitionsbereich \(D\).

a) Geben Sie \(D\) an. 

(1 BE)

b) Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\) 

(2 BE)

Lösung

a)

Definitionsmenge

\(D=\mathbb{R}^+\)

Anmerkung: Die einzige Einschränkung für den Definitionsbereich ergibt sich für den Logarithmus, der nur positive Argumente haben kann. Aufgrund der Fragestellung ist keine Begründung erforderlich.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Nullstellenbestimmung

Schnittpunkt mit der \(x\)- Achse: \(f(x)=0\)

\((x^3-8) \cdot (2+ \text{ln}\ x)=0\)

Satz vom Nullprodukt liefert

1.Faktor: \(x^3-8=0 \Leftrightarrow x_{N1}=2\)

2.Faktor: \(2+ \text{ln}\ x=0 \Leftrightarrow x_{N1}=e^{-2} (\approx0,135)\)

\(\Rightarrow f(x)\) hat die zwei Nullstellen \(x_{N1}=2\) und \(x_{N1}=e^{-2}\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f,\ g\) und  \(h\) mit \(f(x)= x^2-x+1,\ g(x)=x^3-x+1\) und \(h(x)=x^4+x^2+1\).

Aufgabe 2 Abbildung 1 - Abbildung 1

a) Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei Funktionen. Geben sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.

(3 BE)

b) Die erste Ableitungsfunktion von \(h\) ist \(h'\).

(2 BE)

Bestimmen die den Wert von \(\int_0^1 {h'(x) \ \mathrm{d}x}\)

Lösung

a)

Funktion dem Graphen begründet zuordnen

Die Abbildung 1 gehört zu \(g(x)\).

\(f(x)\) hat als quadratische Funktion nur ein Extremum (oder: hat gleichgerichtete Grenzwerte).

\(h(x)\) ist achsensymmetrisch (oder: hat gleichgerichtete Grenzwerte).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Wert des Integrals bestimmen

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung liefert

\(\int_0^1 {h'(x) \ \mathrm{d}x}=\left [ h(x)\right ]_0^1=h(1)-h(0)=3-1=2\)

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  • Punkte:  5

Aufgabe 3

a) Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter \(a\) an, sodass die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f:x\mapsto \mathrm {sin}(ax)\) eine Nullstelle in \(x= \frac\pi 6\) hat.

(1 BE)

b) Ermitteln Sie den Wert des Parameters \(b\), sodass die Funktion \(g:x\mapsto \sqrt{x^2-b}\) den maximalen Definitionsbereich \(\mathbb{R} \backslash \left]-2;2\right[\) besitzt.

(2 BE)

c) Erläutern Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h: x \mapsto 4-e^x\) den Wertebereich \(] - \infty;4[\) besitzt.

(2 BE)

Lösung

a)

Parameter a bestimmen

\(f(x)=\mathrm{sin}(ax)\)

\(f(x)\) soll eine Nullstelle in \(x=\frac \pi 6\) haben

\(\Rightarrow a=6\)  (denn \(\mathrm {sin}(6\cdot \frac\pi 6)=\mathrm{sin}(\pi)=0\))

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Parameter b bestimmen

\(-2 \) und \(2\) müssen die Nullstellen des Radikanten sein, deshalb gilt:

\(\Rightarrow b=4\), denn \(x^2-4\) hat diese Nullstellen.

Da die Parabel \(f(x)=x^2-4\) nach oben geöffnet ist, liegt der Bereich zwischen den Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse. Somit ist es richtig, dass dieser Bereich aus der Definitionsmenge ausgenommen werden muss.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

c)

Wertebereich begründen

\(h(x)=4-e^x\) besitzt in \(D=\mathbb{R}\) den Wertebereich \(]-\infty;\ 4[\), denn:

1) \(e^x\) hat den Wertebereich \(]0;\infty[\). Die an der \(x\)- Achse gespiegelte Funktion \(-e^x\) hat den Wertebereich \(]-\infty;0[\)

Diese wird noch um \(4\) nach oben verschoben, deshalb gilt \(W=]-\infty;4[\).

2) Oder: \(\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} h(x)=4; \lim\limits_{x \rightarrow \infty} h(x)=- \infty\) und dazwischen gibt es keine Asymptoten oder Sprünge wegen \(D=\mathbb{R}\). Deshalb ist \(W\) mindestens gleich \(]-\infty;4[\), könnte aber z.B. durch einen Hochpunkt bei\(y=6\) noch weiter nach oben reichen. Dies ist deshalb nicht der Fall, weil \(h\) streng monoton fallend ist, erkennbar an \(h'(x)=-e^x <0\) auf \(D\) .

  • Punkte:  5

Aufgabe 4

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in \(\mathbb{R}\) definierten differenzierbaren Funktion \(g:x\mapsto g(x)\). Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle \(a\) von \(g\) ermittelt werden. Begründen Sie, dass weder die \(x\)- Koordinate des Hochpunkts \(\mathrm H\) noch die \(x\)- Koordinate des Tiefpunkts \(\mathrm T\) als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann.

(2 BE)

Abi 2015 Analysis TeilA AG1 - Abbildung 2

Lösung

Nullstellenbestimmung mit Newton-Verfahren

1) Grafische Begründung: Das Newton-Verfahren benutzt die Nullstelle der Tangente als Näherung. Die Tangente im Hoch- und Tiefpunkt hat aber keine Nullstelle.

2) Rechnerische Begründung: Zur Berechnung von \(x_1\) wird durch \(f'(x_0)\) geteilt. Das liefert keinen Wert, da \(f'\) im Hoch- und Tiefpunkt gleich null ist.

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  • Punkte:  2

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-6x^2+11x-6\) und \(x \in \mathbb R\).

a) Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y=x-2\) liegt.

(3 BE)

b) Der Graph von \(f\) wird verschoben. Der Punkt \((2\mid0)\) des Graphen der Funktion \(f\)besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten \((3\mid2)\). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion \(h\). Geben Sie eine Gleichung von \(h\) an.

(2 BE)

Lösung

a)

Wendepunkt bestimmen

Für den Wendepunkt braucht man eine Nullstelle der zweiten Ableitung. 

\(\ \ f'(x)=3x^2-12x+11\\ \ f''(x) = 6x-12\\ f'''(x)=6\)

Nullstelle der zweiten Ableitung ist \(x_W=2\) mit \(y_W=2^3-6\cdot2^2+11\cdot2-6=0\) 

\(f'''(x_W=2) \neq0\), also handelt es sich bei \(W_f(2\mid0)\) um einen Wendepunkt der Funktion \(f\).

Punktprüfung

Setzt man die Koordinaten des Wendepunkts \(W_f(2\mid0)\) in die Gleichung der gefragten Geraden ein, so ergibt sich eine wahre Aussage: \(0=2-2\).

Ergebnis

\(W_f(2\mid0)\) ist ein Wendepunkt und befindet sich auf der Geraden \(y\).

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b)

Funktionsgleichung bestimmen

Die Koordinaten des Punktes \((3 \mid 2)\) gehören zur Funktion \(h\) und gehen durch die Verschiebung des Punktes \((2 \mid0)\) des Graphen der Funktion \(f\) hervor.

Es muss gelten: \(h(3)=f(2)+2\), das heißt \(h(3)=f(3-1)+2\).

Diese Verschiebung soll für jeden Punkt gelten, also \(h(x)=f(x-1)+2\).

In diese Beziehung muss man nun noch den Term von \(f(x)\) einsetzen.

Ergebnis

\(h(x)=f(x-1)+2=(x-1)^3-6\cdot (x-1)^2+11\cdot (x-1)-6+2\)

 

  • Punkte:  5
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