Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2015 Analysis HT3 LK


Für jede positive reelle Zahl \(a\) sind eine Funktion \(f_a\) mit der Gleichung 
\(f_a(x)=\left(x^2+ax+1\right)\cdot\text{e}^{x},\;x\in\mathbb{R}\)
und eine Funktion \(p_a\) mit der Gleichung
\(p_a(x)=x^2+(a+2)\cdot x+a+1,\;x\in\mathbb{R}\)
gegeben. Die Graphen von \(f_{2,5}\) und \(p_{2,5}\) sind in der Abbildung unten dargestellt.

Abi 2015 Analysis HT3 LK - Abbildung 1

Es sei nun \(a\) eine beliebige positive reelle Zahl.

Aufgabe a)

  1. Ermitteln Sie das Intervall auf der \(x\)-Achse, für das der Graph der Funktion \(p_a\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.
    [Zur Kontrolle: Das gesuchte Intervall ist \(]−1 − a;−1[\).]
  2. Zeigen Sie: Es gilt \(f_a'(x)=p_a(x)\cdot \text{e}^x\) für alle \(x\in\mathbb{R}\).
  3. Bestimmen Sie die Stellen, an denen die Funktion \(f_a\) ein lokales Maximum bzw. Minimum besitzt.

(5 + 5 + 6 Punkte)

Lösung

  1. Die Nullstellen sind gesucht und werden mittels p-q-Formel ermittelt.
    \(\begin{align} p_a=0\quad\Leftrightarrow\quad &x^2+(a+2)x+a+1=0 \\ \Rightarrow\quad &x_{1,2}=-\frac{a+2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{a+2}{2}\right)^2-a-1}=-\frac{a}{2}-1\pm-\frac{a}{2} \\ \Rightarrow\quad &x_1=-1-a,\quad x_2=-1 \end{align}\)
    \(​p_a \) hat also die angegebenen zwei Nullstellen. Da der Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist (Grenzbetrachtung), liegen die negativen Werte von \(p_a\) zwischen den Nullstellen, also im Intervall \(]–1 - a; –1[\).
  2. Für die Ableitung von \(f_a\) gilt:
    \(\begin{align} f_a'(x)&=(2x+a)\cdot\text{e}^x+\left(x^2+ax+a\right)\cdot\text{e}^x \\ &=\left(x^2+(a+2)x+a+1\right)\cdot\text{e}^x=p_a(x)\cdot\text{e}^x \end{align}\)
  3. Die Extremstellen von \(f_a\) sind die Nullstellen der 1. Ableitung (notwendige Bedingung). Da die Funktion \(\text{e}^x\) keine Nullstellen hat, hat \(f_a\) genau dort Nullstellen der Ableitung, wo \(p_a\) 0 wird, siehe Teilaufgabe a) 1. Aus dem Schaubild oder mithilfe der 2. Ableitung erkennt man, dass bei \(x = -1 - a\) das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus wechselt (Rechtskrümmung bzw. 2. Ableitung negativ) und bei \(x =-1\) das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus wechselt (Linkskrümmung bzw. 2. Ableitung positiv). Also hat \(f_a\) bei \(x = -1 - a\) einen Hochpunkt und bei \(x = -1\) einen Tiefpunkt.

Aufgbe b)

  1. Bestimmen Sie dasjenige \(a>0\), für das die Funktion \(f_a\) genau eine Nullstelle hat.
  2. Berechnen Sie die zugehörige Nullstelle.

(5 + 3 Punkte)

Lösung

  1. ​Die beiden Nullstellen von \(f_a\) liegen bei \(x=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4}-1}\). Sie fallen zusammen für \(a^2=4\) bzw. \(a=\pm 2\). Die gesuchte Lösung ist \(a=2>0\).
  2. Für \(a=2\) liegt die Nullstelle bei \(x=-1\).

Aufgabe c)

Betrachten Sie nun die Funktion \(k\) mit der Gleichung \(k(x)=\text{e}^x,\;x\in\mathbb{R}\), und die Funktion \(h_a\) mit der Gleichung \(h_a(x)=f_a(x)-k(x)=(x^2+ax)\cdot\text{e}^x,\;x\in\mathbb{R}.\)

  1. Ermitteln Sie mithilfe eines Integrationsverfahrens eine Stammfunktion der Funktion \(h_a\).
    [Zur Kontrolle: Zum Beispiel ist die Funktion \(H_a\) mit der Gleichung \(H_a(x)=(x^2+(a-2)x+2-a)\cdot\text{e}^x\) eine Stammfunktion von \(h_a\).]
  2. Berechnen Sie in Abhängigkeit von \(a\) den Inhalt \(A(a)\) der Fläche, die von den Graphen der Funktionen \(f_a\) und \(k\) eingeschlossen wird.
    [Zur Kontrolle: \(A(a)=|2-a-(a+2)\cdot\text{e}^{-a}\)]

(6 + 6 Punkte)

Lösung

  1. Die Stammfunktion wird durch zweimalige partielle Integration bestimmt.
    \(\begin{align} H_a(x)=\int\underbrace{\left(x^2+ax\right)}_u\cdot\underbrace{\text{e}^x \vphantom{\left(x^2+ax\right)}}_{v'}\text{d}x&=\left[\underbrace{\left(x^2+ax\right)}_u\cdot\underbrace{\text{e}^x \vphantom{\left(x^2+ax\right)}}_v \right]-\int\underbrace{\left(x^2+ax\right)}_u\cdot\underbrace{\text{e}^x \vphantom{\left(x^2+ax\right)}}_{v}\text{d}x \\ &=\left[\left(x^2+ax\right)\cdot\text{e}^x\right]-\left\{\left[\left(2x+a\right)\cdot\text{e}^x\right]-\int2\text{e}^x\text{d}x\right\} \\ &=\left(x^2+(a-2)x-a+2)\cdot\text{e}^x\right) \end{align}\)
  2. Die Fläche ist das bestimmte Integral der Differenzfunktion (also \(h_a\)) in den Grenzen der Schnittpunkte von \(f_a\) und \(k\). Bestimmung der Integrationsgrenzen:
    \(\begin{align} \hphantom{\Leftarrow} &&f_a(x)&=k(x) \\ \Leftrightarrow\;&&f_a(x)=\left(x^2+ax+1\right)\cdot\text{e}^x&=\text{e}^x \\ \Leftrightarrow\;&& x^2+ax+1&=1 \\ \Leftrightarrow\;&& x_1=0\,,\;&x_2=-a \end{align}\)

Aufgabe d)

Für \(a=2,5\) erhält man die Funktion \(f_{2,5}\) mit der Gleichung \(f_{2,5}(x)=(x^2+2,5x+1)\cdot\text{e}^x,\;x\in\mathbb{R}.\)

  1. Ermitteln Sie mithilfe von c) 1. eine Stammfunktion der Funktion \(f_{2,5}\).
    [Zur Kontrolle: Zum Beispiel ist die Funktion \(F_{2,5}\) mit der Gleichung \(F_{2,5}(x)=(x^2+0,5x+0,5)\cdot\text{e}^x\) eine Stammfunktion von \(f_{2,5}\).]
  2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion \(f_{2,5}\) und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird.
    [Zur Kontrolle: Der gesuchte Flächeninhalt beträgt ungefähr 0,17 [FE].]
  3. In der Abbildung unten ist die Fläche schraffiert, die von den Graphen der Funktionen \(f_{2,5}\) und \(k\) eingeschlossen wird. Die \(x\)-Achse teilt diese Fläche.
    Berechnen Sie das Verhältnis der größeren zur kleineren Teilfläche.
    Abi 2015 Analysis HT3 LK - Abbildung 2

(4 + 6 + 4 Punkte)

Lösung

  1. Einsetzen von \(a = 2,5\) und aufteilen von \(f_{2,5}(x)\):
    \(\begin{align} &f_{2,5}(x)=\left(x^2+2,5x+1\right)\cdot\text{e}^x=\left(x^2+2,5x\right)\cdot\text{e}^x+\text{e}^x=h_{2,5}(x)+\text{e}^x \\ \Longrightarrow&F_{2,5}(x)=\left(x^2+0,5x-0,5\right)\cdot\text{e}^x+\text{e}^x=\left(x^2+0,5x+0,5\right)\cdot\text{e}^x \end{align}\)
  2. Hier ist die Aufgabenstellung nicht ganz eindeutig: Es gibt zwei Flächenstücke, die zwischen dem Graphen von \(f_{2,5}\) und der \(x\)-Achse liegen, nämlich eines unterhalb der \(x\)-Achse zwischen den beiden Nullstellen und eines oberhalb der \(x\)-Achse links von der linken Nullstelle. Das erste Flächenstück hat die Fläche:
    \(\left|\int\limits_{-2}^{-0,5}f_{2,5}(x)\text{d}x\right|=\left|\left[\left(x^2+0,5x+0,5\right)\cdot\text{e}^x\right]_{-2}^{-0,5}\right|\approx |-0,1704|=0,1704\)
    Das zweite Flächenstück berechnet man mit dem uneigentlichen Integral.
    \(\int\limits_{-\infty}^{-2}f_{2,5}(x)\text{d}x=\left[\left(x^2+0,5x+0,5\right)\cdot\text{e}^x\right]_{-\infty}^{-2}\approx 0,4737\)
    Nur der Lösungshinweis deutet darauf hin, dass hier nur das Flächenstück unterhalb der \(x\)-Achse gemeint ist.
  3. Die untere, kleinere Teilfläche haben wir gerade ausgerechnet. Die gesamte schraffierte Fläche \(A_\text{ges}\) kennen wir sogar für beliebige \(a\), müssen also nur noch einsetzen.
    \(A_\text{ges}=A(2,5)=-\int\limits_{-2,5}^0h_{2,5}(x)\text{d}x=-\left[x^2+0,5x-0,5\right]_{-2,5}^0\approx 0,8694\)
    Damit ist:
    \(\frac{A_\text{unten}}{A_\text{oben}}=\frac{A_\text{unten}}{A_\text{ges}\ -\ A_\text{unten}}\approx\frac{0,1704}{0,8694\ -\ 0,1704}=24,4\ \%\)
    Das Verhältnis der skizzierten Flächen beträgt 24,4 %.
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier