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Abi 2015 Analysis GK HT1


Aufgabe a)

Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für \(0\leq t\leq 3\) die Funktion \(N_1\) mit der Gleichung \(N_1(t)=500\cdot e^{0,6\ \cdot\ t},\ t \in \mathbb R\). Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und \(N_1(t)\) als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt \(t\) aufgefasst. Der Graph von \(N_1\) ist in der Abbildung dargestellt.

(1) 

Berechnen Sie den Funktionswert von \(N_1\) an der Stelle \(t=3 \) und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.

(2) 

Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem \(2000\) Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind.

Abi 2015 Analysis GK HT1 - Abbildung 1

Berechnen Sie, um wie viele Tiere pro Tag die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung während der ersten drei Tage durchschnittlich wächst.

(4) 

Begründen Sie, warum eine Funktion mit dem Funktionsterm nur für einen begrenzten Zeitraum zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen geeignet ist.

(3 + 4 + 3 + 4 Punkte)

Lösung

(1)

Funktionswert bei t = 3

\(N_1(3)=500\cdot e^{0,6\ \cdot\ 3}=3024,8\)

Dem Modell zufolge gibt es zu Beginn \((t=0)\ 500\) Pantoffeltierchen, nach \(3\) Tagen wären es demnach \(3024,8\). Tatsächlich sind es also entweder \(3024\) oder \(3025\), je nach Genauigkeit des Modells.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

(2)

t-Wert zum Funktionswert 2000

\(\begin{array}{rrcl}\\ &N_1(t)&=&500\cdot e^{0,6\ \cdot\ t}=2000\\ \Leftrightarrow& 0,6 \cdot t&=&\mathrm{ln}\ 4\\ \Leftrightarrow& t & \approx&2,31 \end{array}\)

Es gibt dem Modell zufolge nach etwa \(2,31\) Tagen (2 Tage, 7 Stunden, 27 Minuten) \(2000\) Pantoffeltierchen.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

(3)

Mittlere Änderungsrate

Die durchschnittliche Änderung entspricht der Sekantensteigung des Funktionsgraphen bzw. dem Verhältnis aus Änderung des Funktionswerts und Änderung der Variablen.

\(\hat N_1=\frac{\Delta N_1}{\Delta t}\approx\frac{3024,8}{3}\approx 1008,3\)

Die mittlere Änderungsrate der Tierchenzahl beträgt etwa \(1008\) Tierchen pro Tag.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

(4)

Grenzen des Modells

Der Grenzwert von \(N_1\) für \(t\) gegen unendlich ist ebenfalls unendlich, da die Exponentialfunktion dann divergiert, also kann das Modell nicht für beliebig lange Zeiten gelten.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

(3) 

Aufgabe b)

Während der ersten drei Tage (für \(0\leq t \leq 3\) ) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion \(r_1\) mit der Gleichung \(r_1(t)=300\cdot e^{0,64\ \cdot\ t},\ t\in \mathbb R\) beschrieben. Dabei wird \(r_1(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\) Tier pro Tag aufgefasst.

Für die Funktion \(r_1\) und die zugehörige Ableitungsfunktion \(r'_1\) gilt für alle \(t\in\mathbb R\) die Aussage: \(r_1(t)>0\) und \(r'_1(t)>0\).
[Die Gültigkeit dieser Aussage müssen Sie nicht nachweisen.]
Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.

Lösung

Interpretation der positiven Änderungsrate und Krümmung

Wenn die momentane Änderungsrate einer Funktion positiv ist, nehmen die Funktionswerte zu diesem Zeitpunkt zu. Wenn das für alle \(t\)-Werte nach \(t = 0\) gilt, nimmt die Funktion selbst streng monoton zu.

Die Ableitung der Änderungsrate ist die Krümmung des Funktionsgraphen der ursprünglichen Funktion. Eine für alle \( t > 0\) positive Krümmung bedeutet, dass die Funktionswerte desto stärker zunehmen, je größer \(t\) ist, da die Änderungsrate immer stärker anwächst. Der Funktionsgraph der Ursprungsfunktion weist dann eine Linkskrümmung auf und besitzt keine Extrema (außer ggf. an den Rändern des Definitionsbereichs). Im Sachzusammenhang: Es gibt immer mehr Pantoffeltierchen und je mehr schon da sind, desto schneller werden es noch mehr – ein typischer Fall von exponentiellem Wachstum.

Aufgabe c)

Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung (also für \(3\leq t\leq6\)) verwendet der Schüler die Funktion \(r_2\) mit der Gleichung \(r_2(t)=300\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t},\ t\in \mathbb R\). Dabei wird \(r_2(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\) Tier pro Tag aufgefasst.

(1) 

Zeigen Sie, dass für die Funktionen \(r_1\) und \(r_2\) für alle \(a\in\mathbb R\) die Gleichung \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\) gilt.

(2) 

Interpretieren Sie die Bedeutung der Gleichung \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\) für \(0 \leq a \leq 3\) im Sachzusammenhang.

(3) 

Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) mit der Gleichung \(F(x)=-\frac 5 3\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ x}\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ x}\) ist.

(4) 

Bestimmen Sie, wie viele Pantoffeltierchen in der Nährlösung im Laufe des vierten Tages (d. h. im Intervall \([3;4]\)) hinzukommen, wenn die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen für \(3\leq t\leq6\) durch die Funktion \(r_2\) beschrieben wird.

(5) 

Ermitteln Sie ausgehend von den Funktionen \(N_1 \) und \(r_2\) eine Gleichung der Funktion \(N_2\), durch die die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung beschrieben werden kann.
[Zur Kontrolle: \(N_2(t)=1000\cdot e^{1,8}-500\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t}\)]

(6) 

Der Schüler verwendet die Funktion \(N_2\) auch zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen für  \(6 ≥ t\). Begründen Sie, dass in diesem Modell die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung zu keinem Zeitpunkt größer als \(6050\) wird.

(5 + 4 + 4 + 6 + 7 + 4 Punkte)

Lösung

(1)

Stetigkeit der Ableitung

\(\begin{array}{rrcl}\\ &r_2(3+a)&=&r_1(3-a)\\ \Leftrightarrow&300\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ (3\ +\ a)}&=&300\cdot e^{0,6\ \cdot\ (3\ -\ a)} \\ \Leftrightarrow&e^{3,6\ -\ 3,6}&=&e^{0,6a\ -\ 0,6a}\\ \Leftrightarrow&1&=&1 \end{array}\)

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(2)

Interpretation der Gleichung

Wenn man \(a\) gegen 0 gehen lässt, sieht man, dass zwischen den beiden Modellfunktionen die Änderungsrate, also die Ableitung der Pantoffeltierchenzahl, auf beiden Seiten den gleichen Grenzwert bei Annäherung an \(t = 3\) hat. Also haben \(N_1\) und \(N_2\) die gleiche Ableitung und die Funktionsgraphen gehen ohne „Knick“ ineinander über. (\(N_2\) ist die zu \(r_2\) gehörende Modellierung der Pantoffeltierchenzahl im Intervall zwischen \(t = 3\) und \(t = 6\).)

Weiterhin kann man an der Gleichung in c (1) erkennen, dass der aus \(r_1 \) und \(r_2 \) zusammengesetzte Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Punkt \((3|N_1(3))\) ist.

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(3)

Bestätigen der Stammfunktion

\(\begin{array}\\F'(x)&=&\left(-\frac{5}{3}\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ x}\right)'\\ &=&-\frac{3}{5}\left(-\frac{5}{3}\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ x}\right)\\ &=&e^{3,6\ -\ 0,6\cdot x}\\ &=&f(x) \end{array}\)

Da die Ableitung von \(F\) der Funktion \(f\) entspricht, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

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(4)

Pantoffelnachwuchs am 4. Tag

Die absolute Zunahme ist das bestimmte Integral über die Änderungsrate.

\(\begin{array}\\\Delta N_2(x)&=&\int_3^4300\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t}\mathrm d t\\ &=&300\cdot\left[-\frac 5 3 \cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t}\right]_3^4\\ &=&-500\cdot (e^{1,2}-e^{1,8})\\ &\approx&1364,8 \end{array}\)

Im Verlauf des 4. Tages kommen nach Modell \(\frac{r_2}{N_2}\) insgesamt \(1364,8\), also \(1364\) bzw. \(1365\) Tierchen hinzu.

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(5)

Funktionsgleichung für N2

Wir wissen, dass \(N_2\) eine Stammfunktion von \(r_2\) ist.

\(N_2(t)=-500\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t}+C\)

Außerdem müssen \(N_1\) und \(N_2\) an der Übergangsstelle \(t = 3\) denselben Funktionswert haben.

\(\begin{array}\\ &N_2(3)&=&-500\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ 3}+C&=&N_1(3)=500\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t}\\ \Rightarrow&C&=&500\cdot(e^{1,8}+e^{1,8})&=&1000\cdot e^{1,8}\\\Rightarrow&&\approx& 6049,6 \end{array}\)

Damit haben wir:

\(N_2(t)=-500\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t}+1000\cdot e^{1,8}\\\approx6049,6-500\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t}\)

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(6)

Obere Schranke für Funktionswerte von N2

Da die Exponentialfunktion \(y(x) = e^x\) niemals negativ wird, wird für alle Werte von \(t\) im Funktionsterm von \(N_2\) eine positive Zahl von \(6049,6\) abgezogen. Deswegen kann kein Funktionswert größer als dieser Wert und schon gar nicht größer als \(6050\) sein.

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