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Abi 2015 Analysis Aufgabe 1 GK


Eine Käferpopulation besteht zu einem bestimmten Anfangszeitpunkt aus 50.000 Exemplaren. Zwar kommen jedes Jahr durch Fortpflanzung neue Käfer hinzu, gleichzeitig wird die Population aber durch natürliche Feinde dezimiert.
Die Entwicklung der Käferpopulation kann durch die folgende Funktion \(k\) beschrieben werden: 

\(k(t)=(50+25t)\cdot \text{e}^{-0,1t}\quad\text{mit}\;t \geq0\)

Dabei gilt Folgendes: 

  • 1 Einheit der Funktionswerte ≙ 1000 Käfer
  • 1 Einheit der t-Werte ≙ 1 Jahr

Der Graph von \(k\) sieht folgendermaßen aus:

Abi 2015 Analysis Aufgabe 1 GK - Abbildung 1

Aufgabe 1

Berechnen Sie ohne Bezugnahme auf den Graphen von \(k\) die Extrem- und Wendepunkte des Graphen innerhalb des betrachteten Intervalls unter Zuhilfenahme der ersten Ableitung \(k'(t)=(20-2,5t)\cdot\text{e}^{-0,1t}\).
Begründen Sie das Grenzwertverhalten des Graphen für \(t \rightarrow+∞\) anhand des Funktionsterms von \(k\).

Lösung

Extrem- und Wendepunkte

Notwendig und hinreichend für das Vorliegen eines Extrempunkts ist die Bedingung:
\(k'(t)=0\quad\text{und}\quad k''(t)\neq0\)

Notwendig und hinreichend für das Vorliegen eines Wendepunkts ist die Bedingung:
\(k''(t)=0\quad\text{und}\quad k'''(t)\neq0\)

Berechnung der 2. und 3. Ableitung:
\(k'(t)=(20-2,5t)\cdot\text{e}^{-0,1t}\)
\(\Rightarrow k''(t)=(-4,5+0,25t)\cdot\text{e}^{-0,1t}\)
\(\Rightarrow k'''(t)=(0,7-0,025t)\cdot\text{e}^{-0,1t}\)

Bestimmung der lokalen Extrema:
\(k'(t)=0\Leftrightarrow 20=2,5t\Leftrightarrow t=8,\; k''(t=8)\approx-1,12 \Longrightarrow\text{HP}(8|112,33)\)

Bei \(t = 8\) liegt ein Extremum vor. Da die 2. Ableitung negativ ist (Rechtskrümmung), muss es sich um einen Hochpunkt handeln. Die Exponentialfunktion hat keine Nullstelle und der zweite Faktor im Funktionsterm ist linear in \(t\), weshalb es keine weiteren Extrema gibt.

Bestimmung der Wendepunkte:
\(k''(t)=0\Leftrightarrow 4,5=0,25t\Leftrightarrow t=18,\; k'''(t=18)\approx0,041\neq0 \Longrightarrow\text{WP}(18|82,65)\)

Bei \(t = 18\) liegt ein Wendepunkt vor, wiederum gibt es nur diesen einen.

Grenzverhalten

Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion (bzw. in diesem Fall fällt aufgrund des negativen Exponents), verhält sich die Funktion am rechten „Rand“ des Definitionsbereichs folgendermaßen:
\(\lim\limits_{t\rightarrow+\infty} k(t)=0\)

  • Punkte:  16

Aufgabe 2

Beschreiben Sie unter Verwendung der Begriffe „Populationsgröße“ und „Wachstumsgeschwindigkeit“ die Entwicklung der Käferpopulation. Deuten Sie dabei sowohl die Extrem- und Wendepunkte als auch den Grenzwert des Graphen aus Aufgabe 1. 

Lösung

Die Populationsgröße wächst bis \(t = 8\), also die ersten 8 Jahre, steil an und erreicht dann ihr Maximum von etwas über 110.000 Exemplaren. Anschließend geht die Populationsgröße zurück, wobei die Abnahmerate (die negative Wachstumsgeschwindigkeit) zunächst noch weiter zunimmt. Nach 18 Jahren, bei knapp 80.000 Exemplaren, hat die Populationskurve einen Wendenpunkt, d. h., die Abnahmerate wird kleiner. Für sehr große Zeiten \(t\) (sehr viele Jahre nach dem Startzeitpunkt) gehen sowohl die Zahl der Käfer als auch die Abnahmerate gegen null.

  • Punkte:  8

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass \(K\) mit \(K(t)=(-250t-3000)\cdot\text{e}^{-0,1t}\) eine Stammfunktion von \(k\) ist. Berechnen Sie den Wert von \(\frac{1000}{30}\cdot\int\limits_{20}^{50} k(t)\text{d}t\) und deuten Sie diesen im Sachzusammenhang.

Lösung

Durch Ableiten der Stammfunktion erhält man die Funktion \(k(t)\).
\(K'(t)=-250\text{e}^{-0,1t}+(300+25t)\text{e}^{-0,1t}\equiv k(t)\)

Berechnung des bestimmten Integrals und dessen Interpretation:
\(\frac{1000}{30}\cdot\int\limits_{20}^{50} k(t)\text{d}t=\frac{1000}{30}\left[K(50)-K(20)\right]\approx 32.608\).

Das bestimmte Integral zwischen zwei Grenzen, hier der Zeitraum zwischen 20 und 50 Jahren nach Beginn der Beobachtungen, ergibt ein Maß für die Fläche unter der Populationskurve. Die Einheit dieser Größe ist „Käferzahl mal Zeit“ bzw. „Käferjahre“.
Der Zähler des Vorfaktors, 1000, berücksichtigt, dass die Einheit nicht „Käfer“, sondern „Kilokäfer“ ist. Der Nenner ist die Differenz der Integrationsgrenzen, also \(50 - 20 = 30\) Jahre. Wenn man die „Käferjahre“ des Integrals durch die Länge des Integrationsbereichs bzw. die Anzahl der betrachteten Jahre teilt, erhält man wieder eine Angabe in der Einheit „Käfer“, nämlich die zeitlich gemittelte Anzahl von Käfern. Mit anderen Worten: Das Integral bestimmt den zeitlichen Mittelwert der Populationsgröße.

  • Punkte:  8

Aufgabe 4

Die Funktion \(k\) beschreibt die Entwicklung der Käferpopulation nur für die ersten 55 Jahre recht gut. Ab dem Zeitpunkt \( t = 55 \) bleibt bei einer verbesserten Beschreibung die zu diesem Zeitpunkt erreichte Wachstumsgeschwindigkeit konstant, sodass für \(t > 55\) ein lineares Wachstum vorliegt.
Berechnen Sie die momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei \( t = 55 \) und bestimmen Sie mithilfe der Funktionsgleichung, die ab diesem Zeitpunkt die Populationsgröße beschreibt, den voraussichtlichen Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation.

Lösung

Käferzahl und Abnahmerate nach 55 Jahren

\(k(t=55)=(50+25\cdot 55)\cdot\text{e}^{-5,5}\approx 5,83\;[\text{Kilokäfer}]\)

\(k'(t=55)=(20-2,5\cdot 55)\cdot\text{e}^{-5,5}\approx -0,48\;[\text{Kilokäfer/Jahr}]\)

Nach 55 Jahren gibt es noch etwa 5830 Käfer, die Käferzahl nimmt pro Jahr um etwa 480 Käfer ab.

Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation

Nach 55 Jahren folgt die lineare Abnahme der Käferpopulation der Funktion:
\(k_\text{lin}(t)\approx 5,83-0,48t\)
Den Zeitpunkt des Aussterbens berechnet man folgendermaßen:
\(k_\text{lin}(t)=0\Leftrightarrow t\approx 12,1\)

Nach etwas über 12 Jahren, also insgesamt 67,1 Jahre nach Beginn der Betrachtung der Käferpopulation, sind die Käfer ausgestorben.

  • Punkte:  8
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