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Abi 2015 Analysis A2 GK


Aufgabe A 2.1

Die Entwicklung einer Population in den Jahren 1960 bis 2020 lässt sich durch zweiFunktionen modellhaft beschreiben. Die Funktion \(g\) mit \(g(t)=400+20 \cdot (t+1)^2\cdot\text{e}^{-0,1t}\) beschreibt die Geburtenrate und die Funktion \(s\) mit \(s(t)=600+10\cdot(t-6)^2\cdot\text{e}^{-0,09t}\) beschreibt die Sterberate der Population (\(t\) in Jahren seit Beginn des Jahres 1960, \(g(t)\) und \(s(t)\) in Individuen pro Jahr). 

Aufgabe a)

Bestimmen Sie die geringste Sterberate.
In welchem Jahr war die Differenz aus Geburten- und Sterberate am größten?
Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat.
(4 VP)

Lösung

Geringste Sterberate
Du bestimmst das Minimum der Funktion \(s\). Der GTR liefert: \(t=6\) und \(s(6)=600\). Die geringste Sterberate beträgt 600 Individuen pro Jahr.

Größte Differenz von Geburten- und Sterberate
Hierfür untersuchst du die Differenzfunktion \(d=g-s\) und bestimmst deren Maximum. Der GTR liefert: \(t\approx 15,12.\)
\(1960 + 15,12 = 1975,12\)

Im Jahr 1975 war die größte Differenz von Geburten- und Sterberate.

Zeitintervall der Populationszunahme
Für das gesuchte Zeitintervall ist es erforderlich, dass die oben angegebene Funktion \(d\) positive Werte annimmt. Der GTR liefert im Intervall [0; 60] die Nullstellen \(t_1\approx 3,22\) und \(t_2\approx 45,32\).

Der gesuchte Zeitraum lautet [1963; 2005].

Aufgabe b)

Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus 20.000 Individuen.
Berechnen Sie den Bestand der Population zu Beginn des Jahres 2017.
In welchem Jahr erreichte die Population erstmals wieder den Bestand von 1960?
(3 VP)

Lösung

Population im Jahr 2017
Das Integral von 0 bis 57 der Differenzfunktion \(d\) liefert die Anzahl der Individuen, die von 1960 bis 2017 hinzugekommen sind. Addiert man den Bestand der Population zu Beginn des Jahres 1960, so erhält man den Bestand zu Beginn des Jahres 2017.
\(B(2017)=20000+\int\limits_0^5\left\{g(t)-s(t)\right\}\text{d}t\)
Der GTR liefert für \(B(2017)\approx 35636.\)

Die Population hat zu Beginn des Jahres 2017 rund 36 000 Individuen.

Population bei 20 000
Das um 20 000 vergrößerte Integral von 0 bis \(x\) der Differenzfunktion \(d\) liefert den Populationsbestand zu Beginn des \(x\)-ten Jahres.
\(B(x)=20000+\int\limits_0^x\left\{g(t)-s(t)\right\}\text{d}t\)
Gesucht wird \(B(x)=20000\) für \( x > 0\). Der GTR liefert: \(x \approx 6,87.\)

Im Jahr 1966 erreichte die Population erstmals wieder 20 000 Individuen.

Betrachtet wird nun das Größenwachstum eines einzelnen Individuums der Population. Dies kann im Beobachtungszeitraum durch das Gesetz des beschränkten Wachstums modelliert werden. Man geht davon aus, dass dieses Individuum in ausgewachsenem Zustand 0,8 m groß ist. Zu Beobachtungsbeginn betragen seine Größe 0,5 m und seine momentane Wachstumsgeschwindigkeit 0,15 m pro Jahr. 

Aufgabe c)

Bestimmen Sie eine Gleichung einer Funktion, die die Körpergröße des Individuums in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. 
Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50% zugenommen ?
(4 VP)

Lösung

Wachstumsgleichung
Das beschränkte Wachstum wird durch die Differenzialgleichung \(f'(t)=k\cdot (S-f(t))\) beschrieben, denn die Änderungsrate ist proportional zum Sättigungsmanko. Die Gleichung eines beschränkten Wachstums lautet dann:
\(f(t)=S-(S-f(0))\cdot \text{e}^{-kt}.\)
Die Wachstumsgeschwindigkeit \(f'(t)\) beträgt 0,15. Die Schranke \(S\) hat den Wert 0,8 und der Startwert \(f(0)\) beträgt 0,5.
\(0,15 = k\cdot (0,8-0,5),\text{ somit ist } k=0,5.\)
Die zugehörige Wachstumsfunktion lautet: 
\(f(t)=0,8-(0,8-0,5)\cdot\text{e}^{-0,5t}.\)

Zunahme um die Hälfte
Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem die Körpergröße des Individuums auf 0,75 m zugenommen hat.
\(0,75=0,8-(0,8-0,5)\cdot\text{e}^{-0,5t}\)
Der GTR liefert: \(t\approx 3,58.\)

Ca. 3,6 Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50 % zugenommen.

Aufgabe A 2.2

Gegeben sind ein Kreis mit Mittelpunkt \(O(0/0)\) und die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{4}{x^2+1}\).
Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte des Kreises mit dem Graphen von \(f\) in Abhängigkeit von Kreisradius.
(4 VP) 

Lösung

\(L\) ist ein Punkt auf dem Schaubild von \(f\), seine Koordinaten sind \(L(x|f(x))\). Um denjenigen Kreisradius zu bestimmen, bei dem der Kreis den Graphen von \(f\) berührt, musst du denjenigen Punkt \(L\) finden, der minimalen Abstand zum Ursprung hat. Der Abstand des Punktes \(L\) vom Ursprung wird durch die Funktion \(d\) mit \(d(x)=\sqrt{x^2+(f(x))^2}\) beschrieben. Der GTR liefert als minimalen Abstand 1,94 an der Stelle \(x\approx 1,475\).

Deshalb hat ein Kreis um \(O(0|0)\) mit dem Radius 1,94 genau zwei gemeinsame Punkte mit dem Graphen von \(f\). Ein Kreis mit geringerem Radius hat keine gemeinsamen Punkte mit dem Graphen von \(f\). Da der Graph von \(f\) durch \((0|4)\) verläuft, hat ein Kreis mit Radius \(1,94< r <4\) genau vier Schnittpunkte mit dem Graphen von \(f\). Für \(r=4\) gibt es drei gemeinsame Punkte, für \(r>4\) nur noch 2.

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