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Abi 2014 Gesamtklausur Teil B


Analysis

Aufgabenbereich 1

Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Die Koordinatenachsen haben die Gleichungen \(x=0\) (y-Achse) bzw. \(y=0\) (x-Achse). Setze also in der Funktionsgleichung einmal für \(x\) null ein und einmal für \(y.\)

Schnittpunkt mit der y-Achse: \(x=0\Rightarrow y=f(0)=2-\sqrt{12}\approx-1,46\)

Schnittpunkt der x-Achse (Nullstelle):
\(2-\sqrt{12-2x}=0\Leftrightarrow\sqrt{12-2x}=2\)

Probe:
\(f(4)=2-\sqrt{12-2\cdot4}=2-\sqrt{4}=0\)

Schritt 2: Verhalten für \(x\rightarrow-\infty\)

Offenbar ist \(\lim_{x \to -\infty}12-2x=\infty,\)
d. h., der Radikand wächst unbeschränkt an. Da die Wurzelfunktion unbeschränkt streng monoton wächst, ist also 
\(\lim_{x\to-\infty}\sqrt{12-2x}=\infty\)
und somit:
\(\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}2-\sqrt{12-2x}=-\infty\)
\(f(6)=2-\sqrt{12-2\cdot6}=2\)

b)

Schritt 1: Ableitungsfunktion bestimmen

Nach der Kettenregel ist die Ableitung von 
\(f(x)=2-\sqrt{12-2x}\) gegeben durch:
\(f'(x)=-\frac{1}{2\cdot\sqrt{12\ -\ 2x}}\cdot(-2)=\frac{1}{\sqrt{12\ -\ 2x}}\)

Schritt 2: Definitionsmenge

Die Ableitungsfunktion ist genau dort definiert, wo der Term unter der Wurzel positiv ist (er darf nicht null sein, weil er im Nenner steht).
\(12-2x>0\Leftrightarrow y<6\)
Also ist \(D_{f'}={\{x\in\mathbb{R}|x<6\}}=]-\infty;6[.\)

Schritt 3: Grenzwert

Nur der linksseitige Grenzwert ist definiert. Offenbar ist 
\(\lim_{x\to6}12-2x=0\)
(da diese lineare Funktion stetig ist, genügt es, einfach 6 einzusetzen). Wenn \(x\) von links gegen 6 strebt, geht der Term \(12-2x\) von oben gegen null, d. h., er bleibt positiv. Da die Wurzelfunktion streng monoton wächst, strebt mit \(12-2x\) auch \(\sqrt{12-2x}\) von oben gegen null. Uns interessiert jetzt der Kehrwert \(\frac{1}{\sqrt{12\ -\ 2x}}\) und wir wissen, dass der Nenner positiv bleibt und immer kleiner wird. Somit bleibt auch der Bruch positiv und sein Wert wird immer größer. Aus \(\lim_{x\searrow0}\frac1x=\infty\) folgt nun \(\lim_{x\nearrow6}\frac{1}{\sqrt{12-2x}}=\infty.\)

Schritt 4: Eigenschaft von \(G_f\)

Der Grenzwert von \(f'\) für \(x\rightarrow6\) ist unendlich. Das bedeutet, dass \(G_f\) am rechten Rand der Definitionsmenge nahezu senkrecht verläuft. Der Graph schmiegt sich dort der senkrechten Asymptote \(x=6\) an.

c)

Schritt 1: Monotonieverhalten untersuchen

Eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ist monoton steigend, wenn ihre Ableitung nie negativ wird; sie steigt streng monoton, falls ihre Ableitung immer positiv ist. Hier ist \(f'(x)=\frac{1}{\sqrt{12\ -\ 2x}}\), wobei der Nenner im Intervall \(]-\infty;6[\) positiv ist. Somit ist \(f'\) in diesem Bereich ebenfalls positiv, also steigt \(f\) hier streng monoton an.

Schritt 2: Wertemenge bestimmen

Wir wissen bereits aus Teilaufgabe a), dass \(f(6)=2\) ist, und aus der Monotonie geht hervor, dass alle übrigen Werte im Bereich \(]-\infty;6[\) kleiner sind. Aus Teilaufgabe a) wissen wir ferner, dass \(f\) nach unten unbeschränkt ist. Aus der Stetigkeit folgt nun, dass \(f\) alle Werte im Intervall \(]-\infty;2[\) annimmt, d. h. \(W_f=]-\infty;2[.\)

d)

\(f(-2)=-2\)

 

 - Abbildung 1
 

e)

Schritt 1: Definitionsmenge der Umkehrfunktion angeben

Beim Übergang von einer Funktion zu ihren Umkehrfunktionen werden Definitions- und Wertemenge vertauscht.
Die Wertemenge von \(f\) ist nach Teilaufgabe c) \(W_f=]-\infty;2[\) und dies ist genau der Definitionsbereich von \(f^{-1}.\)

Schritt 2: Berechnung der Umkehrfunktion

\(y=2-\sqrt{12-2x}\quad\qquad|+\sqrt{12-2x}\\ y+\sqrt{12-2x}=2\quad\qquad|-y\\\sqrt{12-2x}=2-y\quad\qquad|\;\text{quadrieren}\\ 12-2x=(2-y)^2\;\;\qquad|-12\\ -2x=y^2-4y-8\qquad|\;:(-2)\\ x=-\frac12y^2+2y+4\qquad|\;\text{Variablen vertauschen}\)

Ergebnis

\(y=-\frac12x^2+2x+4,\) d. h. \(f^{-1}(x)=-\frac12x^2+2x+4\)

  • Punkte:  19

Aufgabe 2

a)

Wir setzen den Funktionsterm von \(h\) in die Gleichung für \(w\) ein.
\(\begin{align*} -\frac12x^2+2x+4&=x\qquad| -x\\ -\frac12x^2+x+4&=0\qquad| \cdot(-2)\\ x^2-2x-8&=0\qquad\text{Faktorisierung (mit Mitternachtsformel oder Satz von Vieta)}\\ (x+2)(x-4)&=0 \end{align*}\)

Hieraus lesen wir die zwei Lösungen ab, nämlich \(x_1=-2\) und \(x_2=4.\)

Die y-Koordinaten der gesuchten Schnittpunkte stimmen wegen der Geradengleichung \(y=x\) mit den eben bestimmten x-Koordinaten überein. Die Schnittpunkte sind also \(S_1(-2\vert-2)\) und \(S_2(4\vert4)\).

b)

Schritt 1: Scheitelpunkt berechnen

Der x-Wert des Scheitelpunktes ist Nullstelle der 1. Ableitung.
\(f(x)=-\frac12x^2+2x+4\\ \Rightarrow f'(x)=-x+2\\ -x+2\stackrel{!}{=}0\Leftrightarrow x=2\)
In \(f\) eingesetzt ergibt dies \(y=6.\) Der Scheitelpunkt ist also \((2\vert6).\)

Schritt 2: Parabel einzeichnen

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 3: Spiegeln

 

 - Abbildung 1
  • Punkte:  7

Aufgabe 3

a)

Schritt 1: Integrationsgrenzen bestimmen

Die Integrationsgrenzen sind die Schnittpunkte der Funktion \(h\) mit der Winkelhalbierenden \(w.\) Diese sind schon in Aufgabe 2a) berechnet worden. Integriert wird also von –2 bis 4.

Schritt 2: Aufstellen der Integrandenfunktion

Wir ziehen die Funktionsterme zuerst voneinander ab und integrieren dann. Setze also
\(f(x)=h(x)-w(x)\) mit \(h(x)=-\frac12x^2+2x+4\) und \(w(x)=x.\)
Dann ist \(f(x)=-\frac12x^2+x+4.\) Diese Funktion wird im Integrationsbereich nie negativ (da \(h\) immer oberhalb von \(w\) verläuft). Somit ist die Flächenbilanz (also das Integral) gleich der gesuchten Fläche.

Schritt 3: Eine Stammfunktion benutzen

\(A=\int^4_{-2}(-\frac12x^2+x+4)dx\\ =-\frac16x^3+\frac12x^2+4x\vert^4_{-2}\)

Schritt 4: Rechnung

\(A=\left(-\frac16\cdot4^3+\frac12\cdot4^2+4\cdot4\right)-\left(-\frac16\cdot(-2)^3+\frac12\cdot(-2)^2+4\cdot(-2)\right)\\ =18 \;\text{FE}\)

Dies ist nun die Fläche zwischen \(G_h\) und \(w,\) was aufgrund der Symmetrie des Modells genau die Hälfte der Blattfläche ausmacht. Unter Berücksichtigung des vorgegebenen Maßstabs erhalten wir eine Blattfläche von 36 cm2.

b)

Schritt 1: Skizze

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 2: Bestimmung der Tangente

Die Tangente hat die Form \(x=mx+t.\) Zunächst mit \(m\) bestimmen:
\(m=h'(-2),\)
wobei
\(h(x)=-\frac12x^2+2x+4.\) Somit ist
\(h'(x)=-x+2\) und speziell
\(h'(-2)=4.\) Nun lautet unsere Geradengleichung \(y=4x+t.\)

Um \(t\) zu bestimmen, setzen wir die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden in die Gleichung ein. Die Tangente soll durch den Punkt \((-2|-2)\) gehen, also setzen wir \(x=-2\) und \(y=-2\) ein.
\(-2=4\cdot(-2)+t\Leftrightarrow t=6\)

Also lautet die Tangentengleichung: \(y=4x+6\)

Schritt 3: Winkel zwischen Gerade und x-Achse

Offensichtlich ist der gesuchte Blattöffnungswinkel doppelt so groß wie der Winkel zwischen der Tangente und der Winkelhalbierenden \(w.\) Diesen wiederum erhalten wir durch Subtraktion der beiden Neigungswinkel zur x-Achse, die wir als Nächstes bestimmen.

Bezeichne mit \(\alpha\) den Winkel, den die Tangente mit der x-Achse bildet. Für den Winkel \(\alpha\) gilt: \(\tan α = 4,\) denn die Steigung der Tangente beträgt 4 (s. o.). Somit ist \(\alpha=\tan^{-1}(4)\approx75,96°\) (wir sehen anhand der Skizze, dass \(0<\alpha<90°\) ist, also wählt der Taschenrechner den richtigen Zweig des Arcustangens).

Die Winkelhalbierende bildet mit der x-Achse einen Winkel von 45°.

Schritt 4: Subtraktion der beiden Winkel

Der Winkel zwischen der Tangente und der Winkelhalbierenden ist die Differenz der oben bestimmten Winkel, also \(\alpha\; – 45°\approx 30,96°.\)
Diesen Winkel verdoppeln wir, um den gesuchten Winkel zwischen der Tangente und ihrer Spiegelung an der Winkelhalbierenden zu bekommen. Der Wert des Winkels beträgt 61,92°.

c)

Die obere Blattkante wird nun im Intervall durch die Funktion
\(f(x)=\begin{cases}h(x)\; für \;x>0\\k(x)\;für\;x\le0\end{cases}\)
beschrieben. Die Bedingungen I und II stellen sicher, dass f im Punkt \((0|4)\) stetig und differenzierbar ist, sodass dort \(G_h\) ohne Sprung und ohne Knick in \(G_k\) übergeht. Bedingung III bewirkt, dass die obere und untere Blattkante sich in der Blattspitze bei \((-2|-2)\) treffen.

Zur Bedingung IV: \(k'(-2)=1,5<4=h'(-2)\) bedeutet, dass k in der Nähe der Blattspitze langsamer ansteigt (also flacher verläuft) als \(h.\) Damit wird bewerkstelligt, dass der Öffnungswinkel an der Blattspitze kleiner wird und diese etwas gebogen erscheint.

  • Punkte:  14

Aufgabenbereich 2

Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen

Bei einem Bruch darf der Nenner nicht null werden, d. h., es muss gelten:
\(x^2-25\ne0\Leftrightarrow x^2\ne25 \Leftrightarrow|x|\ne5\Leftrightarrow x \notin \{-5;5\}.\) Ansonsten gibt es keine Einschränkung.

Schritt 2: Symmetrie nachweisen

Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs bedeutet, dass \(f(-x)=-f(x)\) für alle \(x\in D_f\) gilt.
Das prüfen wir wie folgt:
\(f(-x)=\frac{20(-x)}{(-x)^2\ -\ 25}=-\frac{20x}{x^2\ -\ 25}=-f(x)\)
Somit ist die Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs nachgewiesen.

Schritt 3: Nullstelle finden

\(\frac{20x}{x^2\ -\ 25}\stackrel{!}{=}0\Leftrightarrow 20x=0\Leftrightarrow x=0\)

Schritt 4: Asymptoten bestimmen

Zähler und Nenner sind Polynome, deren Grad jeweils die höchste vorkommende Potenz der Variablen ist. Bezeichnen wir mit \(d_Z\) den Grad des Zählers und mit \(d_N\) den Grad des Nenners.

  1. Senkrechte Asymptoten sind genau die senkrechten Geraden durch die Definitionslücken, also durch die Nullstellen des Nenners. In unserem Fall haben wir senkrechte Asymptoten bei \(x=-5\) und bei \(x=5.\)
  2. Eine schräge Asymptote gibt es genau dann, wenn \(d_Z=d_N+1\) ist. Dies ist hier nicht der Fall, also hat \(f\) keine schräge Asymptote.
  3. Eine waagerechte Asymptote kommt genau dann vor, wenn \(d_Z\le d_N\) ist. Des Weiteren ist diese waagerechte Asymptote genau dann die x-Achse, wenn \(d_Z<d_N\) ist. Genau dieser Fall liegt hier vor, d. h., \(f\) hat als waagerechte Asymptote die Gerade \(y=0.\)

b)

Schritt 1: Berechnung der 1. Ableitung

Wir bestimmen die 1. Ableitung mit der Quotientenregel.
\(f'(x)=\frac{20(x^2\ -\ 25)\ -\ 20x\;\cdot\;2x}{(x^2\ -\ 25)^2}=\frac{-20x^2\ -\ 500}{(x^2\ -\ 25)^2}\)

Schritt 2: Intervalle, in denen die 1. Ableitung negativ ist

Ein Bruch ist negativ, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben. Der Nenner ist hier ein Quadrat, also innerhalb der Definitionsmenge von \(f\) immer positiv.

Der Zähler \(-20x^2-500\) ist ein Term, der für alle x negativ ist. Daher ist die Ableitung für alle \(x\in D_f\) negativ und somit die Steigung von \(G_f\) in jedem Punkt des Graphen negativ.

Schritt 3: Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 0

Der Schnittwinkel, unter dem der Graph die x-Achse schneidet, ergibt sich aus der Steigung der Tangente an der Nullstelle. Die Tangentensteigung berechnen wir mit der 1. Ableitung.
\(f'(x)=\frac{-20x^2\ -\ 500}{(x^2\ -\ 25)^2}\)

Die Nullstelle haben wir schon bestimmt, sie liegt bei \(x=0.\) Einsetzen liefert zunächst die Steigung der Tangente.
\(f'(0)=-0,8\)

Schritt 4: Berechnung des Winkels

Die Tangentensteigung entspricht dem Tangens des Winkels \(\varphi\), unter dem die Tangente die x-Achse schneidet.

 

 - Abbildung 1
 

Es gilt \(\tan(\varphi)=-0,8\Rightarrow\varphi=\tan^{-1}(-0,8)\approx-38,65°,\) wenn man den Winkel gegen den Uhrzeigersinn orientiert. Gesucht ist aber der unorientierte Schnittwinkel, also der Betrag des kleineren der beiden Scheitelwinkel zwischen Tangente und x-Achse, hier also etwa \(38,65°.\)

c)

Schritt 1: Einzeichnen der Asymptoten

Die drei Asymptoten, die wir in Teilaufgabe a) bestimmt haben, waren gegeben durch die Gleichungen \(x=-5,\;x=5\) und \(y=0.\)

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 2: Einzeichnen der Nullstelle

Die Nullstelle war nach Teilaufgabe a) bei \(x=0.\)

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 3: Tangente an der Nullstelle skizzieren

In Teilaufgabe b) haben wir gesehen, dass die Tangente an der Nullstelle die Steigung \(-0,8\) hat und offenbar geht sie durch den Ursprung (wegen \(f(0)=0\)). Somit geht die Tangente durch die Punkte (0|0) und (5|–4) und kann in einer geeigneten Umgebung des Ursprungs in die Skizze eingezeichnet werden.

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 4: Berücksichtigung von Monotonie und Symmetrie

Den Graphen links von der Asymptote \(x=-5\) erhält man durch Drehung des Abschnitts im I. Quadranten um den Ursprung um 180°. Zwischen den senkrechten Asymptoten müssen wir eine glatte Kurve einzeichnen, die links gegen \(\infty\) und rechts gegen \(-\infty\) strebt, außerdem muss sie sich in der Nähe des Ursprungs an den eingezeichneten Tangentenabschnitt anschmiegen.

 

 - Abbildung 1
 

d)

Schritt 1: Umkehrbarkeit prüfen

Eine Funktion \(f\) mit Definitionsbereich \(D\) und Wertebereich \(W\) ist genau dann umkehrbar, wenn es zu jedem \(y\in W\) nur ein \(x\in D\) mit \(f(x)=y\) gibt. Diese Bedingung ist in unserem Fall nicht erfüllt, denn 
\(\lim_{x\searrow-5}f(x)=\infty=\lim_{x\searrow5}f(x),\)
also werden alle hinreichend großen Werte mindestens zweimal erreicht, nämlich in der Nähe jeder senkrechten Asymptote. Somit ist \(f\) nicht umkehrbar.

Um zu zeigen, dass \(f^*\) umkehrbar ist, genügt es nachzuprüfen, dass \(f^*\) streng monoton ist. Aus Teilaufgabe b) wissen wir aber schon, dass \(f'\) überall negativ ist, ferner ist auf \(]5;+\infty[f^{*'}=f' .\)
Somit ist \(f^*\) auf dem ganzen Intervall \(]5;+\infty[\) streng monoton fallend und daher umkehrbar.

Schritt 2: Zeichnung

Grafisch ist die Umkehrfunktion die Spiegelung an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten.

 

 - Abbildung 1
 

e)

Schritt 1: Skizze

Wir nehmen beispielhaft den Wert \(x = 16\) für unsere Skizze.

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 2: Stammfunktion finden

\(\begin{align*}\int\frac{20x}{x^2-25}dx&=10\int\frac{2x}{x^2-25}dx=\int\frac{x^2-25)'}{x^2-25}dx\\&=10\ln|x^2-25|+C,\end{align*}\)
wie man der Stammfunktion entnimmt. Der Einfachheit halber wählen wir als Stammfunktion \(10\ln|x^2-25|.\)

Schritt 3: Berechnung \(A(s)\)

\(A(s)=10\int^{s}_{10}\frac{2x}{x^2\ -\ 25}dx=10(\ln|s^2-25|-\ln|75|).\)
Da \(s>10\) vorausgesetzt wird, ist sichergestellt, dass das Argument in der Logarithmusfunktion positiv ist.

Bemerkung

\(\ln|s^2-25|-\ln|75|=\ln\left\vert\frac{s^2-25}{75}\right\vert\)

f)

\(\begin{alignat*}10\cdot\ln(\frac{s^2-25}{75})&\stackrel{!}{=}100\qquad&| : 10\\ \ln(\frac{s^2-25}{75})&=10\quad\;\qquad&|\;\text{exponentieren}\\ \frac{s^2-25}{75}&=e^{10}\quad\qquad\qquad&|\cdot75\\ s^2-25&=75e^{10}+25\qquad&|\;\text{Wurzel ziehen}\\ |s|&=\sqrt{75e^{10}+25}\qquad&|\;\text{Betragsstriche weglassen, da}\;s>10>0\\ s&=\sqrt{75e^{10}+25} \end{alignat*}\)
Als Ergebnis erhalten wir mit dem Taschenrechner \(s\approx1285,31.\)

g)

Zu berechnen ist \(\lim_{s\rightarrow \infty}10\cdot\ln(\frac{s^2\ -\ 25}{75})\).
Offenbar geht der Zähler des Arguments im Logarithmus gegen \(\infty.\) Teilen durch eine endliche Größe wie 75 ändert an diesem Grenzverhalten nichts, d. h., das Argument des Logarithmus strebt ebenfalls gegen \(\infty.\) Bekanntlich ist die Logarithmusfunktion streng monoton wachsend und unbeschränkt (obwohl sie nur sehr langsam ansteigt), also ist 
\(\lim_{s\rightarrow \infty}\ln(\frac{s^2\ -\ 25}{75})=\infty\)
und somit auch:
\(\lim_{s\rightarrow \infty}10\cdot\ln(\frac{s^2\ -\ 25}{75})=\infty\)

  • Punkte:  26

Aufgabe 2

a)

Wir müssen nur die x-Werte in die Formel einsetzen und dann von Stunden in Minuten umrechnen.
\(t(10)=\frac{10}{15}+\frac{10}{5}=\frac{40}{15}=\frac83\)und
\(t(20)=\frac{10}{25}+\frac{10}{15}=\frac{80}{75}=\frac{16}{15}\)

Eine Stunde beträgt 60 Minuten, also sind \(\frac83\) Stunden \(\frac83\cdot60=8\cdot20=160\) Minuten. \(\frac{16}{15}\) Stunden sind dementsprechend \(\frac{16}{15}\cdot60=16\cdot4=64\) Minuten.
Bei einer Eigengeschwindigkeit von 10 km/h dauert die Fahrt also 160 Minuten und bei einer Eigengeschwindigkeit von 20 km/h nur 64 Minuten.

b)

Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt x km/h. Also benötigt das Boot für 10 km auf stillem Wasser \(\frac{10}{x}\) Stunden. Die Geschwindigkeit des Wassers beträgt 5 km/h. Für die Fahrt flussabwärts addieren sich die Geschwindigkeiten, das Boot fährt also effektiv mit der Geschwindigkeit \(x+5\) km/h, sodass sich für die Hinfahrt der Term \(\frac{10}{x\ +\ 5}\) ergibt. Für die Fahrt gegen den Strom müssen die Geschwindigkeiten subtrahiert werden, das Boot bewegt sich also effektiv mit der Geschwindigkeit \(x-5\) km/h und es kommt als Term für die Rückfahrt noch \(\frac{10}{x\ -\ 5}\) hinzu.

c)

Für \(x<5\) ist die Eigengeschwindigkeit des Bootes kleiner als die Fließgeschwindigkeit des Wassers. Somit reicht die Motorleistung nicht aus, um das Boot gegen die Strömung zum Ausgangspunkt zurückzuführen, d. h., die Rückfahrt wird nie beendet. \(t(x)\) hingegen gibt für diesen Fall eine endliche Gesamtfahrtzeit vor.

d)

Wir müssen die beiden Brüche so erweitern, dass sie als Nenner \((x+5)(x-5)\) haben.
\(\begin{align*} t(x)&=\frac{10}{x+5}+\frac{10}{x-5}\\ &=\frac{10(x-5)}{(x+5)(x-5)}+\frac{10(x+5)}{(x-5)(x+5)}\\ &=\frac{10x-50}{x^2-25}+\frac{10x+50}{x^2-25}\\&=\frac{20x}{x^2-25}\\&=f(x) \end{align*}\)
Somit sehen wir, dass die Funktionen \(t\) und \(f\) auf ihrem ganzen gemeinsamen Definitionsbereich übereinstimmen.

e)

Schritt 1: Informationen notieren

Natürlich geht es um die Funktion \(t(x)=\frac{10}{x\ +\ 5}+\frac{10}{x\ -\ 5}\) bzw. \(t(x)=\frac{20x}{x^2\ -\ 25}.\)
Außerdem soll die Gesamtfahrtzeit auf 2 bis 14 Stunden begrenzt sein. Das bedeutet für die Wertemenge: \(2<y<14.\)

Schritt 2: Was ist gefragt?

Nach Aufgabe 2d) zeigt die Abbildung aus Aufgabe 1) den Graphen der Funktion \(t\).

 - Abbildung 1
 

Um damit die Eigengeschwindigkeit x aus einer vorgegebenen Gesamtfahrtzeit zu bestimmen, zeichnen wir die waagerechte Gerade \(G_1\) mit der gewünschten Höhe y in die Abbildung und betrachten dann den Schnittpunkt \(S\) von \(G_1\) mit dem eingezeichneten Teil des Graphen von \(f.\) Die x-Koordinate von \(S\) ist dann die zugehörige Eigengeschwindigkeit.

Schritt 3: Allgemeine Rechnung

Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, müssen wir die Funktionsgleichung nach x auflösen und die Variablen vertauschen.
\(\begin{align*} y=\frac{20x}{x^2-25}\quad&|\cdot(x^2-25)\\ y(x^2-25)=20x\quad&|\;\text{ausmultiplizieren}\\ yx^2-25y=20x\quad&|-20x\\ \quad&\text{Diese quadratische Gleichung besitzt für jedes}\;y>2\;\text{zwei Lösungen,}\\ yx^2-20x-25y=0\quad&\text{die durch die allgemeine Lösungsformel gegeben sind.} \end{align*}\)

\(\begin{align*} x_{1/2}=\frac{20\pm\sqrt{400+100y^2}}{2y}\quad&\text{Der Schönheit halber klammern wir unter der Wurzel}\\ \quad&\text{den Faktor 100 aus und ziehen ihn vor die Wurzel.}\\ x_{1/2}=\frac{20\pm10\sqrt{4+y^2}}{2y}\quad&\text{Jetzt müssen wir entscheiden,}\\ =\frac{10\pm5\sqrt{4+y^2}}{y}\quad&\text{welche der beiden Zweige wir brauchen.}\\ \end{align*}\)

Nach Vorgabe soll die Gesamtfahrtzeit im Bereich zwischen 2 und 14 Stunden liegen. Die Fahrtzeit in Stunden wird im Moment noch mit y bezeichnet, und wenn wir \(y>2\) in die letzte Gleichung einsetzen, erkennen wir, dass der eine Zweig \(x_1=\frac{10\ -\ 5\sqrt{4\ +\ y^2}}{y}\) negativ wird. x soll aber die Eigengeschwindigkeit des Bootes sein und die Fahrt soll nach endlicher Zeit abgeschlossen sein, also muss diese Eigengeschwindigkeit positiv sein. Nach Teilaufgabe c) muss sogar \(x>5\) sein, damit die Formel die Situation sinnvoll widerspiegelt. Also ist der andere Zweig der richtige: \(x_2=\frac{10\ +\ 5\sqrt{4\ +\ y^2}}{y}.\)
Jetzt müssen wir nur noch die Variablen vertauschen und die Standardbezeichnung für die Umkehrfunktion benutzen. 
\(t^{-1}(x)=f^{-1}(x):\frac{10\ +\ 5\sqrt{4\ +\ x^2}}{x}\)

Schritt 4: Spezielle Rechnung

Um die Eigengeschwindigkeit bei einer Gesamtfahrtzeit von 4 Stunden zu berechnen, setzen wir in die eben gefundene Umkehrfunktion 4 ein.
\(t^{-1}(4)=f^{-1}(4)=\frac{10\ +\ 5\sqrt{4\ +\ 4^2}}{4}=\frac{10\ +\ 5\sqrt{20}}{4}=\frac{5(1\ +\ \sqrt5)}{2}\approx6,09\)
Wenn die Gesamtfahrtzeit 4 h betragen soll, benötigt das Boot eine Eigengeschwindigkeit von etwa 6,09 km/h.

  • Punkte:  15

Analytische Geometrie

Aufgabenbereich 1

Aufgabe

a)

Schritt 1: Berechnung der Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum berechnest du mit der Formel \(A=\frac{1}{2}\left|\right.\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\left|\right.\). Dabei sind \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) die Vektoren von einem beliebigen Punkt des Dreiecks zu den beiden anderen Punkten. Dazu brauchst du
\(\overrightarrow{AB}=\pmatrix{0\\4\\0}-\pmatrix{4\\0\\0}=\pmatrix{-4\\4\\0}\) und \(\overrightarrow{AC}=\pmatrix{-4\\0\\4}\).

Schritt 2: Berechnung des Vektorprodukts

Die Formel für die Berechnung des Vektorproduktes liefert: 
\(\pmatrix{-4\\4\\0}\times\pmatrix{-4\\0\\4}=\pmatrix{16\\16\\16}\)

Schritt 3: Berechnung des Flächeninhalts

\(\left|\right.\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\left|\right.\) ist die Länge des Vektors \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\), also ist:
\(A=\frac{1}{2}\left|\right.\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\left|\right.=\frac{1}{2}\sqrt{16^2+16^2+16^2}=8\sqrt{3}\approx13,86\)

b)

Schritt 1: Geradengleichung

\(g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{P}+\lambda\overrightarrow{v}\) oder besser \(g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\2\\3}+\lambda\pmatrix{1\\1\\4}\) (Als Richtungsvektor genügt jedes Vielfache von \( \overrightarrow{v},\) wir nehmen das \((-1)\)-Fache.)

Schritt 2: Allgemeinen Punkt der Gerade in die Ebenengleichung einsetzen

Jeder Punkt der Geraden g hat Koordinaten \((2+\lambda\vert2+\lambda\vert3+4\lambda)\) für ein \(\lambda.\)

In die Gleichung von E eingesetzt liefert das:
\(2+\lambda+2+\lambda+3+4\lambda=4\Leftrightarrow7+6\lambda=4\)

Schritt 3: Parameter berechnen

Diese Gleichung lösen wir nach \(\lambda\) auf und erhalten \(\lambda=-0,5.\)

Schritt 4: Koordinaten von R berechnen

Diesen Wert für \(\lambda\) setzen wir in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten von R zu erhalten. Das Ergebnis ist R(1,5|1,5|1).

Schritt 5: Skizze

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 6: Begründung

Wie man an der Skizze leicht erkennen kann, ist das Dreieck der Teil der Ebene, der komplett im ersten Oktanten liegt. Da der Punkt R in der Ebene liegt und ebenfalls im ersten Oktanten, muss er auf dem Dreieck liegen.

c)

Schritt 1: Gleichung der Geraden durch P und Q aufstellen

Zwei Punkte P und Q sind bezüglich einer Ebene E symmetrisch, wenn die Gerade h, die durch die beiden Punkte geht, folgende Eigenschaften hat:

  1. h schneidet E im Mittelpunkt der Strecke \([PQ]\).
  2. Der Schnittwinkel von h mit E beträgt 90°, d. h., h steht senkrecht auf E.

\(h:\overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\2\\3}+\mu\left[\right.\pmatrix{0\\0\\1}-\pmatrix{2\\2\\3}\left]\right.=\pmatrix{2\\2\\3}+\mu\pmatrix{-2\\-2\\-2}\)

Nimm als Richtungsvektor lieber das \((-\frac{1}{2})\)-Fache davon, nämlich \(\pmatrix{1\\1\\1}.\)

Unsere Gerade h ist demnach gegeben durch \(h:\overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\2\\3}+\mu\pmatrix{1\\1\\1}.\)

Schritt 2: Schnittpunkt Gerade−Ebene finden

Dazu müssen wir einen allgemeinen Punkt der Geraden in die Ebenengleichung einsetzen.

Ein allgemeiner Geradenpunkt von g hat die Form \((2+\mu|2+\mu|3+\mu).\)

In E eingesetzt liefert das die Gleichung \(2+\mu+2+\mu+3+\mu=4\Leftrightarrow\mu=-1.\)

Jetzt musst du \(-1\) für \(\mu\) in den allgemeinen Geradenpunkt einsetzen, das liefert die Koordinaten des Schnittpunktes: S(1|1|2).

Schritt 3: Mittelpunkt der Strecke [PQ] bestimmen

Die Koordinaten des Mittelpunktes sind die Mittelwerte der Koordinaten von P und Q.

\(x_1=(2+0):2=1\\ x_2=(2+0):2=1\\ x_3=(3+1):2=2\)

Das sind exakt die Koordinaten von S. Damit ist Bedingung 1) geprüft.

Schritt 4: Gegenseitige Lage Gerade−Ebene bestimmen

Die Gerade g muss senkrecht auf die Ebene E stehen. Das ist dann der Fall, wenn der Normalenvektor der Ebene parallel zum Richtungsvektor der Geraden verläuft.

Ist die Ebenengleichung in Koordinatenform angegeben, kann man den Normalenvektor einfach ablesen. Er besteht aus den Koeffizienten vor den Koordinaten.

\(E:x_1+x_2+x_3=4\) hat demnach den Normalenvektor \(\pmatrix{1\\1\\1}\). Der Richtungsvektor der Geraden ist ebenfalls \(\pmatrix{1\\1\\1}\). Also steht die Gerade senkrecht auf die Ebene und Bedingung 2) ist somit auch erfüllt. Die Punkte P und Q sind also bezüglich der Ebene E symmetrisch.

d)

Schritt 1: Skizze

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 2: Ebenengleichung in Parameterform

Der Aufpunkt ist mit dem Punkt R gegeben. Als Richtungsvektoren können wir die Vektoren \(\overrightarrow{RP}\) und \(\overrightarrow{RQ}\) nehmen.

\(\overrightarrow{RP}=\pmatrix{2\\2\\3}-\pmatrix{1,5\\1,5\\1}=\pmatrix{0,5\\0,5\\2},\) wir nehmen der Einfachheit halber das Doppelte: \(\pmatrix{1\\1\\4}.\)

\(\overrightarrow {RQ}=\pmatrix{0\\0\\1}-\pmatrix{1,5\\1,5\\1}=\pmatrix{-1,5\\-1,5\\0},\) wir nehmen lieber \(\pmatrix{1\\1\\0}\). Somit ergibt sich:

\(F:\overrightarrow{x}=\pmatrix{1,5\\1,5\\1}+\lambda\cdot\pmatrix{1\\1\\4}+\mu\cdot\pmatrix{1\\1\\0}\)

Schritt 3: Umwandeln in Normalenform

Für die Normalenform \(ax_1+bx_2+cx_3+d=0\) brauchen wir die Parameter a, b, c und d.

a, b und c sind die Komponenten des Normalenvektors der Ebene, den wir mit dem Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene berechnen.

\(\overrightarrow{n}=\pmatrix{1\\1\\4}\times\pmatrix{1\\1\\0}=\pmatrix{-4\\4\\0}\)

F hat also eine Gleichung der Form \(-4x_1+4x_2+0x_3+d=0.\)

Um d zu bestimmen, setzt du den Aufpunkt aus der Parametergleichung in diese Gleichung ein.
\(-4\cdot1,5+4\cdot1,5+d=0\Leftrightarrow d=0\)

Somit lautet die Normalenform wie folgt:
\(F=-4x_1+4x_2=0\) oder äquivalent \(F:x_1-x_2=0\)

Schritt 4: Bestimmung der Lage des Einfallslots

Eine Gerade liegt in einer Ebene, wenn sie parallel zur Ebene verläuft und ein Punkt der Geraden auch auf der Ebene liegt. Parallel zu einer Ebene verläuft eine Gerade, wenn ihr Richtungsvektor und der Normalenvektor der Ebene einen rechten Winkel bilden, d. h., das Skalarprodukt des Richtungsvektors und des Normalenvektors muss 0 sein.

Das Einfallslot ist senkrecht zur Ebene E, d. h., als Richtungsvektor des Lots kannst du den Normalenvektor der Ebene E nehmen. Somit hat das Lot den Richtungsvektor \(\pmatrix{1\\1\\1}\). Ein Normalenvektor von F ist  \(\pmatrix{1\\-1\\0}.\)

Berechne das Skalarprodukt: \(\pmatrix{1\\1\\1}\circ\pmatrix{1\\-1\\0}=1\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot0=0\)

Somit ist das Lot parallel zu Ebene F.

Außerdem ist der Punkt R sowohl Element der Ebene F als auch des Einfallslots. Also muss das Lot in der Ebene F liegen.

e)

Schritt 1: Winkel zwischen Vektoren

Für den Winkel \(\varphi\) zwischen zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) gilt \(cos\varphi=\frac{\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}}{|a|\cdot|b|}.\)

Schritt 2: Bestimmen der Vektoren

Werfen wir noch mal einen Blick auf die Skizze aus der Angabe.

 - Abbildung 1
 

Wir stellen den einfallenden Strahl durch den Vektor \(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{v}=\pmatrix{1\\1\\4}\) dar, den reflektierten Strahl durch \(\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{QR}\) und das Einfallslot durch \(\overrightarrow{c}=\pmatrix{1\\1\\1}\) (s. o.).

Berechnen wir zuerst \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{QR}=\pmatrix{1,5\\1,5\\1}-\pmatrix{0\\0\\1}=\pmatrix{1,5\\1,5\\0}.\)

Schritt 3: Vergleich der Winkel

Einerseits ist \(cos(\alpha)=\frac{\pmatrix{1\\1\\4}\circ\pmatrix{1\\1\\1}}{\sqrt{1+1+16}\cdot\sqrt{1+1+1}}=\frac{6}{3\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.\)

Andererseits ist \(\begin{align*}cos(\beta)&=\frac{\pmatrix{1,5 \\1,5\\0}\circ\pmatrix{1\\1\\1}}{\sqrt{2,25+2,25+0}\cdot\sqrt{1+1+1}}=\frac{3}{\sqrt{13,5}}\\&=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{27}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=cos(\alpha).\end{align*}\)

(Der Wert ist etwa \(0,82\).) Aus der Skizze wissen wir, dass \(\alpha\) und \(\beta\) beide zwischen 0 und 90° liegen, und in diesem Bereich ist jeder Winkel eindeutig durch seinen Kosinus bestimmt. Somit folgt aus \(cos(\beta)=cos(\alpha)\) die gewünschte Gleichung \(\alpha=\beta\). (Der Wert ist etwa \(35,26°.\))

  • Punkte:  20

Aufgabenbereich 2

Aufgabe

a)

Schritt 1: Verbindungsvektor \(\overrightarrow{CH}\) bestimmen

\(\overrightarrow{CH}=\pmatrix{4\\10\\8}-\pmatrix{8\\10\\5}=\pmatrix{-4\\0\\3}\)

Schritt 2: Länge des Vektors berechnen

\(|\overrightarrow{CH}|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5\)

Schritt 3: Berechnung des Flächeninhalts

Wie eben berechnet beträgt eine Seitenlänge 5 m, die andere ist die Länge des Hauses, also nach Vorgabe 10 m. Die Fläche ist das Produkt der beiden Seitenlängen, also 50 m2.

b)

Schritt 1: Verbindungsvektor \(\overrightarrow{CD} \) bestimmen

Wir brauchen den Winkel zwischen den Vektoren \(\overrightarrow{CH}\) und \(\overrightarrow {CD}\). Nach Teilaufgabe a) ist
\(\overrightarrow{CH}=\pmatrix{-4\\0\\3}.\)

Der Punkt D hat die Koordinaten (0|10|5). Also ist
\(\overrightarrow{CD}=\pmatrix{0\\10\\5}-\pmatrix{8\\10\\5}=\pmatrix{-8\\0\\0}.\)

Schritt 2: Winkel zwischen Vektoren

Für den Winkel \(\varphi\) zwischen zwei Vektoren brauchen wir die Formel
\(\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}}{|a|\cdot|b|}.\) Wir setzen ein:

\(\cos\varphi=\frac{\pmatrix{-4\\0\\3}\circ\pmatrix{-8\\0\\0}}{\sqrt{(-4)^2+3^2}\cdot\sqrt{(-8)^2}}=\frac{32}{5\;\cdot\;8}=\frac{4}{5}=0,8\)

Nach der Skizze liegt der zu berechnende Winkel auf jeden Fall zwischen 0 und 90°, also können wir den im Taschenrechner programmierten Zweig der Umkehrfunktion des Kosinus benutzen. Wir erhalten damit
\(\varphi\) = cos-1(0,8) \(\approx\) 36,87°. Der Neigungswinkel ist somit größer als 35°, also kann die Gaube gebaut werden.

c)

Schritt 1: Ist die Gerade parallel zur Ebene?

Um zu zeigen, dass die Gerade in der Ebene liegt, müssen wir zwei Dinge prüfen:

  1. Die Gerade ist parallel zur Ebene, d. h., ihr Richtungsvektor steht senkrecht auf den Normalenvektor der Ebene.
  2. Ein Punkt der Geraden liegt in der Ebene.

 

 - Abbildung 1
 

Den Normalenvektor der Ebene lesen wir aus der Ebenengleichung ab, er besteht aus den Koeffizienten vor den Koordinaten, also 
\(\overrightarrow{n}=\pmatrix{3\\0\\4}.\) Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist nun
\(\pmatrix{4\\0\\-3}\circ\pmatrix{3\\0\\4}=4\cdot3+(-3)\cdot4=0.\)

Somit stehen sie senkrecht aufeinander und Bedingung 1) ist erfüllt.

Schritt 2: Liegt der Aufpunkt der Geraden in der Ebene?

Der Aufpunkt der Geraden t ist der Punkt T, der in der Ebene liegt, da seine Koordinaten die Ebenengleichung \(3x_1+4x_3-44=0\) erfüllen.

Schritt 3: Abstand der beiden Geraden

Die Geraden t und CH sind parallel, denn \(\overrightarrow{CH}=\pmatrix{-4\\0\\3}\) ist ein Vielfaches des Richtungsvektors von t.
Die Punkte T und H unterscheiden sich nur in der x2-Koordinate: Bei T ist sie gleich 8, bei H gleich 10. Der Abstand dieser zwei Punkte voneinander ist demnach 2. Ferner ist [TH] die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den Geraden t und CH, da sie senkrecht auf den gemeinsamen Richtungsvektor \(\pmatrix{4\\0\\-3}\) steht:
\(\overrightarrow{TH}=\pmatrix{0\\2\\0}\) und \(\pmatrix{4\\0\\-3}\circ\pmatrix{0\\2\\0}=0.\) Bei Berücksichtigung des Maßstabs 1 cm : 1 m erhalten wir den Abstand von 2 m.

d)

Schritt 1: Vektor \(\overrightarrow{TM}\) berechnen

Der Vektor \(\overrightarrow{TM}\) muss so berechnet werden, dass er 1 m lang ist. Da \(\overrightarrow{TM}\) parallel zu t ist, muss es sich um ein Vielfaches des entsprechenden Richtungsvektors handeln, d. h., es gibt ein \(\lambda\in\mathbb{R}\) mit
\(\overrightarrow{TM}=\lambda\cdot\pmatrix{4\\0\\-3}=\pmatrix{4\lambda\\0\\-3\lambda}.\)

Die Länge des Vektors soll 1 betragen, also muss gelten: \(\sqrt{16\lambda^2+9\lambda^2}=1\Leftrightarrow5|\lambda|=1.\) Außerdem muss \(\lambda\) positiv sein, denn sonst würde sich der Punkt M nicht auf dem Dach befinden (siehe Skizze).

Somit ist \(\lambda=|\lambda|=\frac{1}{5}\) und einsetzen in die obige Gleichung liefert
\(\overrightarrow{TM}=\frac{1}{5}\pmatrix{4\\0\\-3}=\pmatrix{0,8\\0\\-0,6}.\)

Schritt 2: Addition der Vektoren \(\overrightarrow{OT}\) und \(\overrightarrow{TM}\)

\(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OT}+\overrightarrow{TM}=\pmatrix{4\\8\\8}+\pmatrix{0,8\\0\\-0,6}=\pmatrix{4,8\\8\\7,4}\)

Der Punkt M hat die Koordinaten (4,8|8|7,4).

e)

Schritt 1: Form der Ebenengleichung bestimmen

Da die Ebenen E und F parallel sind, haben sie den gleichen Normalenvektor. Also hat F eine Gleichung der Form
\(3x_1+4x_3+d=0\) für ein geeignetes \(d\in\mathbb{R}.\)

Schritt 2: Konstante \(d\) bestimmen

Aus dem Punkt H(4|10|8) der Ebene E wird durch Verschiebung um 1,4 LE in \(x_3\)-Richtung der Punkt H* der Ebene F, mit den Koordinaten (4|10|9,4).
Jetzt brauchst du nur noch diese Koordinaten in F einzusetzen, um d berechnen zu können:
\(3\cdot4+4\cdot9,4+d=0\Leftrightarrow d=-49,6.\) Mit dieser Information können wir die vollständig bestimmte Ebenengleichung für F hinschreiben: \(F: 3x_1+4x_3-49,6=0.\)

f)

Schritt 1: Schnittpunkt Gerade−Ebene

N ist der Schnittpunkt der Geraden m mit der Ebene F.
Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzen wir einen allgemeinen Punkt von m in die Gleichung von F ein.
Ein allgemeiner Punkt von m hat die Form \((4,8+6\mu|8|7,4-\mu).\)
In F eingesetzt ergibt das \(3\cdot(4,8 + 6\mu)+4\cdot(7,4-\mu)-49,6=0\Leftrightarrow\mu=0,4.\)
Jetzt setzen wir 0,4 für μ in den allgemeinen Punkt ein und bekommen die Koordinaten von N, nämlich N(7,2|8|7).

Schritt 2: Koordinaten von L bestimmen

L liegt 1,4 m senkrecht unter N. Das heißt, die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten von L und N stimmen überein und die \(x_3\)-Koordinate von L ist um 1,4 Einheiten kleiner als die \(x_3\)-Koordinate von N. Somit ist L(7,2|8|5,6).

  • Punkte:  20

Stochastik

Aufgabenbreich 1

Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Vierfeldertafel aufstellen

Bezeichnungen:

M Mädchen
J Junge
F Fernsehgerät
\(\overline F\) kein Fernsehgerät

 

  M J gesamt
F 54 65 119
\(\overline F\) 44 37 81
gesamt 98 102 200

 

 

 

 

 

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit berechnen

\(P(\overline F\cap M)=\frac{44}{200}=0,22\)

b)

Schritt 1: Vierfeldertafel aufstellen

Siehe Aufgabe a).

Schritt 2: Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen

\(P(M\cap F)=\frac{54}{200}\) und \(P(F)=\frac{119}{200},\) also ist \(P(M|F)=\frac{54}{119}\approx0,454.\)

c)

Schritt 1: Vierfeldertafel aufstellen

Siehe Aufgabe a).

Schritt 2: Stochastische Unabhängigkeit prüfen

Die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse \(F\) und \(M\) lautet:
\(P(F)\cdot P(M)=P(F\cap M)\)
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so sind sie stochastisch abhängig.
Aus der Vierfeldertafel ergibt sich:
\(P(F)=\frac{119}{200}=0,595\\ P(M)=\frac{98}{200}=0,49\\ P(F\cap M)=\frac{54}{200}=0,27\;\\ P(F)\cdot P(M)=0,29155\ne0,27\)
Die beiden Ereignisse sind somit stochastisch abhängig.

d)

Schritt 1: Wert der Summe \(\sum^{12}_{i=0}B(25;0,55;i)\) nachschlagen

Diesen Wert entnehmen wir der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung mit den Parametern \(p=0,55,\; n=25\) und \(k=12.\) Er beträgt:

\(\sum^{12}_{i=0}B(25;0,55;i)\approx0,30632\)

Schritt 2: Interpretation

Dieser Wert ist im Modell die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 25 Mädchen im Alter zwischen 12 und 19 Jahren höchstens 12 (also weniger als die Hälfte) ein Fernsehgerät besitzen. Zum einen kann das Modell von der Wirklichkeit abweichen und zum anderen ist die spezielle Auswahl von 25 Schülerinnen einer 9. Klasse nicht unbedingt repräsentativ für alle Mädchen zwischen 12 und 19 Jahren. Dies ist z. B. dann der Fall, wenn die Besitzerinnen von Fernsehgeräten über die verschiedenen Altersklassen gleichmäßig verteilt sind.
Wahrscheinlicher ist aber, dass beispielsweise unter den 19-Jährigen mehr Mädchen Fernsehgeräte besitzen als unter den 12-Jährigen.

  • Punkte:  9

Aufgabe 2

a)

Schritt 1: \(H_0\) und \(H_1\) festlegen

Als Nullhypothese nehmen wir die Annahme, dass tatsächlich weniger als 90 % der Jugendlichen der Kleinstadt einen Computer besitzen. Diese Annahme nennen wir \(H_0.\) Um die Formulierungen zu verkürzen, führen wir die Abkürzung \(p\) ein für die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Jugendlicher der Kleinstadt einen Computer besitzt. \(H_0\) lautet also jetzt: \(p<0,9.\) Dementsprechend lautet die Gegenhypothese \(H_1:p\ge0,9.\)

Bezeichnen wir nun noch die Anzahl der befragten Jugendlichen, die einen Computer besitzen, mit x. Da 100 Personen befragt werden, liegt x zwischen 0 und 100. Wir müssen entscheiden, für welche x wir \(H_0\) annehmen bzw. ablehnen, und zwar unter Berücksichtigung der in der Aufgabenstellung genannten Bedingungen.

Schritt 2: Skizze für den Annahmebereich

\(H_0\) behauptet, dass \(p\) klein ist, und wenn dem so ist, dann erwarten wir, dass auch x klein ausfällt. Der Annahmebereich ist also der linke Abschnitt der Ereignismenge aller Möglichkeiten, die für x infrage kommen.

[0;1 ..........................................c;] + 1; .................................................100]
       Annahmebereich für \(H_0\)             Anlehnungsbereich für \(H_0\)

In der Skizze ist c das größte x, bei dem wir \(H_0\) noch annehmen.

Schritt 3: \(c\) bestimmen

Es genügt, die Bedingung \(P(x<c)\le0,05\) für den Fall \(p=0,9\) zu erfüllen.
In der Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen zu den Parametern \(p=0,9\) und \(n=100\) suchen wir den größten Wert für k, bei dem die Wahrscheinlichkeit \(P(x<k)\le0,05\) ausfällt. Wir erhalten \(c=84.\)

Schritt 4: Entscheidungsregel formulieren

Die finanziellen Mittel werden bewilligt, wenn bei der Befragung höchstens 84 Jugendliche angeben, einen Computer zu besitzen.

b)

Schritt 1: Anteil der Computerbesitzer

Es handelt sich um eine Binomialverteilung mit Parametern \(n=100, \;k=85\) und einem \(p,\) das noch ermittelt werden muss.
Im Modell ist \(p\) der Anteil der Jugendlichen in der Kleinstadt, die einen Computer besitzen. Nach Vorgabe ist \(p\) somit gleich dem Anteil der Computerbesitzer(innen) unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen. Das sind 77 Mädchen und 87 Jungen, also insgesamt 164 von den 200 Jugendlichen. Demnach ist \(p=0,82.\)

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit

Die Formel für die Binomialverteilung lautet:
\(P(X=k)=\pmatrix{n\\k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\)
Wir setzen also die Parameter ein, die wir oben zusammengestellt haben, und erhalten:

\(P(X)=85)=\pmatrix{100\\85}\cdot0,82^{85}\cdot0,18^{15}\approx0,08\)

  • Punkte:  7

Aufgabe 3

Schritt 1: Vierfeldertafel aufstellen

Siehe Aufgabe 1a).

Schritt 2: Stochastische Unabhängigkeit prüfen

Wir bezeichnen mit S die Smartphonebesitzer und mit K die Konsolenbesitzer.

Hier die (unvollständigen) Vierfeldertafeln:
In absoluten Zahlen:

  K \(\overline K\)  
S     94
\(\overline S\)     106
  99 101 200

In Wahrscheinlichkeiten:

  K \(\overline K\)  
S x   0,47
\(\overline S\)     0,53
  0,495 0,505 1

S und K sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:
\(P(S)\cdot P(K)=P(S\cap K),\) also \(P(S\cap K)=0,47\cdot0,495=0,23265\)

Schritt 3: Bestimmung des Mindestwertes

Mindestens 47 Jugendliche müssen sowohl ein Smartphone als auch eine Spielekonsole besitzen.

  • Punkte:  4

Aufgabenbereich 2

Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Jede Möglichkeit ist gleich wahrscheinlich. Wir berechnen daher die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem wir die Anzahl der für das Ereignis günstigen Möglichkeiten durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge des Experiments teilen.

Schritt 2: Anzahl der günstigen Ereignisse

Für das erste Päckchen gibt es 200 Möglichkeiten, ein Bild auszuwählen. Da alle fünf Bilder verschieden sein sollen, hat man für das zweite Päckchen nur noch 199 Möglichkeiten, für das dritte nur noch 198 usw.
Das macht bei fünf Päckchen \(200\cdot199\cdot198\cdot197\cdot196\) „günstige“ Möglichkeiten.
Daraus folgt:

\(P(5\;\text{verschiedene Tierbilder})=\frac{200\;\cdot\;199\;\cdot\;198\;\cdot\;197\;\cdot\;196}{200^5}\)

b)

Sei E das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir bestimmen sollen. Für E günstige Möglichkeiten: Da der Junge schon 185 Bilder hat, gibt es für jedes der 10 neuen Bilder 185 Möglichkeiten, mit einem der bereits im Sammelalbum vorhandenen Bilder übereinzustimmen. Hier können Bilder auch wiederholt gezogen werden, also kommen wir auf 18510 „günstige“ Möglichkeiten. Die Gesamtzahl aller möglichen Ausgänge ist 20010, nämlich bei jedem der insgesamt 10 neuen Bilder 200 Möglichkeiten.

Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit von E:
\(P(E)=185^{10}:200^{10}=(\frac{185}{200})^{10}=(\frac{37}{40})^{10}\approx0,459\)

c)

Schritt 1: Baumdiagramm zeichnen

Bei jedem Päckchen gibt es zwei mögliche Ausgänge: Entweder es enthält ein 3-D-Bild oder nicht. Wir haben also eine Bernoulli-Kette. Das folgende Baumdiagramm veranschaulicht die Situation:

 

 - Abbildung 1
 

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein 3-D-Bild soll mehr als 99 % betragen, also muss die Wahrscheinlichkeit für kein 3-D-Bild weniger als 1 % sein.

Schritt 2: Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einem Päckchen kein 3-D-Bild befindet:

Der Anteil an 3-D-Bildern liegt bei 0,1. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 5 Bildern kein einziges 3-D-Bild ist: \(0,9^5=0, 59049.\)

Schritt 3: Rechnung

\(\begin{align*} 0,59049^n<0,01\quad\qquad&\text{beide Seiten logarithmieren}\\ \ln (0,59049^n)<\ln(0,01)\quad\qquad&\text{linke Seite umformen}\\ n\cdot\ln(0,59049)<\ln(0,01)\quad\qquad&|:\ln(0,59049) \end{align*}\)

Vorsicht: \(\ln(0, 59049)\) ist eine negative Zahl. Du musst das Ungleichheitszeichen umdrehen, wenn du beide Seiten durch diese Zahl teilst!

Du erhältst:
\(n>\frac{\ln(0,01)}{\ln(0,59049)}\approx8,74\)

Ein Kind benötigt also mindestens 9 Päckchen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3-D-Bild zu bekommen.

  • Punkte:  10

Aufgabe 2

a)

Schritt 1: Berechnung des Öffnungswinkels

Wenn die Größe der Sektoren proportional zu ihrem Zahlenwert ist, dann ist Sektor 1 eine Einheit groß, Sektor 2 zwei Einheiten usw. Das macht insgesamt \(1 + 2 +…+ 5 = 15\) Einheiten. Eine Einheit entspricht demnach einem Öffnungswinkel von \(360° : 15 = 24°.\) Dies ist also der Öffnungswinkel von Sektor 1.

Schritt 2: Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Wenn die 1 einen Winkel von 24° hat, dann hat die 5 einen Winkel von \(5\cdot24°=120°.\) 120° ist \(\frac13\) von 360°. Da die Wahrscheinlichkeit eines Sektors proportional zu seinem Öffnungswinkel ist und die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 gleichmäßig auf die 360° verteilt ist, hat somit Sektor 5 die Wahrscheinlichkeit \(\frac13.\) Die Wahrscheinlichkeit, eine Eintrittskarte zu gewinnen, ist also \(\frac13.\)

b)

Schritt 1: Berechnung des Erwartungswertes

Bezeichne mit X die Auszahlung nach einem Spiel und tabelliere die möglichen Werte von X mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

\(x\) 1 2 3 4 15
\(P(X=x)\) \(\frac{1}{15}\) \(\frac{2}{15}\) \(\frac{3}{15}=\frac15\) \(\frac{4}{15}\) \(\frac{5}{15}=\frac13\)

 

 

Diese Werte setzt du nun in die Formel für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable.
\(E(X)=1\cdot\frac{1}{15}+2\cdot\frac{2}{15}+3\cdot\frac15+4\cdot\frac{4}{15}+15\cdot\frac13=7\)

Schritt 2: Interpretation

Da der Supermarkt pro Spiel 6 Euro einnimmt, aber im Schnitt 7 Euro auszahlt, wird der örtliche Kindergarten mit dieser Veranstaltung wahrscheinlich kein Geld einnehmen, sondern eher Verluste machen.

c)

Der Erwartungswert der Auszahlung ist jetzt:
\(E(X)=1\cdot\frac{1}{15}+2\cdot\frac{2}{15}+3\cdot\frac15+4\cdot\frac{4}{15}+10\cdot\frac13=5\frac13\approx5,33\)

Bei Einnahmen von 6 Euro pro Spiel ergibt sich ein durchschnittlicher Überschuss von \(\frac23\) Euro pro Spiel. Das macht bei 6000 Spielen einen Überschuss von \(\frac23\cdot6000=4000\) Euro, den der Kindergarten in etwa erwarten kann.

  • Punkte:  10
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