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Abi 2014 Analytische Geometrie, Teil A, A2


Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Quadereigenschaften

Drei Vektoren spannen dann einen Quader auf, wenn sie paarweise aufeinander senkrecht stehen.

Schritt 2: Nachweis

Zwei Vektoren bilden einen rechten Winkel, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.
\(\begin{align*} \overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}&=\pmatrix{2\\1\\2}\circ\pmatrix{-1\\2\\0}\\ &=2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0\\ &=0 \end{align*}\)

\(\begin{align*} \overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{c_t}&=\pmatrix{2\\1\\2}\circ\pmatrix{4t\\2t\\-5t}\\ &=2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t)\\&=0 \end{align*}\)

\(\begin{align*} \overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{c_t}&=\pmatrix{-1\\2\\0}\circ\pmatrix{4t\\2t\\-5t}\\ &=(-1)\cdot 4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t)\\ &=0 \end{align*}\)

Somit stehen die Vektoren \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c_t}\) stets aufeinander senkrecht, unabhängig vom Parameter t, d. h., der von diesen Vektoren aufgespannte Körper ist immer ein Quader.

b)

Schritt 1: Volumenformel anwenden

\(V_{Spat}=\vert(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\circ\overrightarrow{c}\vert\)

Das Kreuzprodukt \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\) ist \(\pmatrix{-4\\-2\\5}\).

Schritt 2: Werte für \(t\) ermitteln

\(\begin{align*} \vert(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\circ\overrightarrow{c}\vert&=\left|\right.{\pmatrix{-4\\-2\\5}\circ\pmatrix{4t\\2t\\-5t}}\left.\right|\\ &=\vert(-4)\cdot4t+(-2)\cdot2t+5\cdot(-5t)\vert\\ &=\vert-45t\vert=45\vert t\vert=15 \end{align*}\)

Die letzte Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn gilt:
\(\vert t \vert = \frac{1}{3}\Leftrightarrow t=\pm\frac{1}{3}\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

a)

Schritt 1: Skizze

Abi 2014 Analytische Geometrie, Teil A, A2 - Abbildung 1

Man erreicht den Punkt Q, wenn man zu \(\overrightarrow{OM}\) den Vektor \(\overrightarrow{PM}\) addiert.

Schritt 2: Berechnung der Koordinaten

\(\begin{align*} \overrightarrow{OQ}&=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{PM}\\ \overrightarrow{OQ}&=\pmatrix{-3\\2\\7}+\left[{\pmatrix{-3\\2\\7}-\pmatrix{3\\4\\4}}\right]=\pmatrix{-9\\0\\10} \end{align*}\)

Der Punkt Q hat also die Koordinaten (−9|0|10).

b)

Schritt 1: Vorüberlegung

Eine Kugel berührt eine Ebene genau dann in nur einem Punkt, wenn der Abstand des Mittelpunktes der Kugel von der Ebene dem Radius der Kugel entspricht.

Schritt 2: Radius der Kugel

Der Radius der Kugel entspricht der Länge des Vektors \(\overrightarrow{MP}\).
\(\overrightarrow{MP}=\pmatrix{-6\\-2\\3}\\ \Rightarrow\vert\overrightarrow{MP}\vert=\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+3^2}=7\quad (Dies\ ist\ also\ der\ Radius.)\)

Schritt 3: Abstand Mittelpunkt–Ebene

Der Abstand des Mittelpunktes von der x1x2-Ebene ist der Wert der x3-Koordinate des Mittelpunktes. Dieser Wert ist 7, also gleich dem oben bestimmten Radius. Das heißt, die Kugel berührt die x1x2-Ebene in genau einem Punkt.

  • Punkte:  5
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