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Abi 2014 Analysis Teil B, AG 1


Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Die Koordinatenachsen haben die Gleichungen \(x=0\) (y-Achse) bzw. \(y=0\) (x-Achse). Setze also in der Funktionsgleichung einmal für \(x\) null ein und einmal für \(y.\)

Schnittpunkt mit der y-Achse: \(x=0\Rightarrow y=f(0)=2-\sqrt{12}\approx-1,46\)

Schnittpunkt der x-Achse (Nullstelle):
\(2-\sqrt{12-2x}=0\Leftrightarrow\sqrt{12-2x}=2\)

Probe:
\(f(4)=2-\sqrt{12-2\cdot4}=2-\sqrt{4}=0\)

Schritt 2: Verhalten für \(x\rightarrow-\infty\)

Offenbar ist \(\lim_{x \to -\infty}12-2x=\infty,\)
d. h., der Radikand wächst unbeschränkt an. Da die Wurzelfunktion unbeschränkt streng monoton wächst, ist also 
\(\lim_{x\to-\infty}\sqrt{12-2x}=\infty\)
und somit:
\(\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}2-\sqrt{12-2x}=-\infty\)
\(f(6)=2-\sqrt{12-2\cdot6}=2\)

b)

Schritt 1: Ableitungsfunktion bestimmen

Nach der Kettenregel ist die Ableitung von 
\(f(x)=2-\sqrt{12-2x}\) gegeben durch:
\(f'(x)=-\frac{1}{2\cdot\sqrt{12\ -\ 2x}}\cdot(-2)=\frac{1}{\sqrt{12\ -\ 2x}}\)

Schritt 2: Definitionsmenge

Die Ableitungsfunktion ist genau dort definiert, wo der Term unter der Wurzel positiv ist (er darf nicht null sein, weil er im Nenner steht).
\(12-2x>0\Leftrightarrow y<6\)
Also ist \(D_{f'}={\{x\in\mathbb{R}|x<6\}}=]-\infty;6[.\)

Schritt 3: Grenzwert

Nur der linksseitige Grenzwert ist definiert. Offenbar ist 
\(\lim_{x\to6}12-2x=0\)
(da diese lineare Funktion stetig ist, genügt es, einfach 6 einzusetzen). Wenn \(x\) von links gegen 6 strebt, geht der Term \(12-2x\) von oben gegen null, d. h., er bleibt positiv. Da die Wurzelfunktion streng monoton wächst, strebt mit \(12-2x\) auch \(\sqrt{12-2x}\) von oben gegen null. Uns interessiert jetzt der Kehrwert \(\frac{1}{\sqrt{12\ -\ 2x}}\) und wir wissen, dass der Nenner positiv bleibt und immer kleiner wird. Somit bleibt auch der Bruch positiv und sein Wert wird immer größer. Aus \(\lim_{x\searrow0}\frac1x=\infty\) folgt nun \(\lim_{x\nearrow6}\frac{1}{\sqrt{12-2x}}=\infty.\)

Schritt 4: Eigenschaft von \(G_f\)

Der Grenzwert von \(f'\) für \(x\rightarrow6\) ist unendlich. Das bedeutet, dass \(G_f\) am rechten Rand der Definitionsmenge nahezu senkrecht verläuft. Der Graph schmiegt sich dort der senkrechten Asymptote \(x=6\) an.

c)

Schritt 1: Monotonieverhalten untersuchen

Eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ist monoton steigend, wenn ihre Ableitung nie negativ wird; sie steigt streng monoton, falls ihre Ableitung immer positiv ist. Hier ist \(f'(x)=\frac{1}{\sqrt{12\ -\ 2x}}\), wobei der Nenner im Intervall \(]-\infty;6[\) positiv ist. Somit ist \(f'\) in diesem Bereich ebenfalls positiv, also steigt \(f\) hier streng monoton an.

Schritt 2: Wertemenge bestimmen

Wir wissen bereits aus Teilaufgabe a), dass \(f(6)=2\) ist, und aus der Monotonie geht hervor, dass alle übrigen Werte im Bereich \(]-\infty;6[\) kleiner sind. Aus Teilaufgabe a) wissen wir ferner, dass \(f\) nach unten unbeschränkt ist. Aus der Stetigkeit folgt nun, dass \(f\) alle Werte im Intervall \(]-\infty;2[\) annimmt, d. h. \(W_f=]-\infty;2[.\)

d)

\(f(-2)=-2\)

Abi 2014 Analysis Teil B, AG 1 - Abbildung 1

e)

Schritt 1: Definitionsmenge der Umkehrfunktion angeben

Beim Übergang von einer Funktion zu ihren Umkehrfunktionen werden Definitions- und Wertemenge vertauscht.
Die Wertemenge von \(f\) ist nach Teilaufgabe c) \(W_f=]-\infty;2[\) und dies ist genau der Definitionsbereich von \(f^{-1}.\)

Schritt 2: Berechnung der Umkehrfunktion

\(y=2-\sqrt{12-2x}\quad\qquad|+\sqrt{12-2x}\\ y+\sqrt{12-2x}=2\quad\qquad|-y\\\sqrt{12-2x}=2-y\quad\qquad|\;\text{quadrieren}\\ 12-2x=(2-y)^2\;\;\qquad|-12\\ -2x=y^2-4y-8\qquad|\;:(-2)\\ x=-\frac12y^2+2y+4\qquad|\;\text{Variablen vertauschen}\)

Ergebnis

\(y=-\frac12x^2+2x+4,\) d. h. \(f^{-1}(x)=-\frac12x^2+2x+4\)

  • Punkte:  19

Aufgabe 2

a)

Wir setzen den Funktionsterm von \(h\) in die Gleichung für \(w\) ein.
\(\begin{align*} -\frac12x^2+2x+4&=x\qquad| -x\\ -\frac12x^2+x+4&=0\qquad| \cdot(-2)\\ x^2-2x-8&=0\qquad\text{Faktorisierung (mit Mitternachtsformel oder Satz von Vieta)}\\ (x+2)(x-4)&=0 \end{align*}\)

Hieraus lesen wir die zwei Lösungen ab, nämlich \(x_1=-2\) und \(x_2=4.\)

Die y-Koordinaten der gesuchten Schnittpunkte stimmen wegen der Geradengleichung \(y=x\) mit den eben bestimmten x-Koordinaten überein. Die Schnittpunkte sind also \(S_1(-2\vert-2)\) und \(S_2(4\vert4)\).

b)

Schritt 1: Scheitelpunkt berechnen

Der x-Wert des Scheitelpunktes ist Nullstelle der 1. Ableitung.
\(f(x)=-\frac12x^2+2x+4\\ \Rightarrow f'(x)=-x+2\\ -x+2\stackrel{!}{=}0\Leftrightarrow x=2\)
In \(f\) eingesetzt ergibt dies \(y=6.\) Der Scheitelpunkt ist also \((2\vert6).\)

Schritt 2: Parabel einzeichnen

Abi 2014 Analysis Teil B, AG 1 - Abbildung 2

Schritt 3: Spiegeln

Abi 2014 Analysis Teil B, AG 1 - Abbildung 3

  • Punkte:  7

Aufgabe 3

a)

Schritt 1: Integrationsgrenzen bestimmen

Die Integrationsgrenzen sind die Schnittpunkte der Funktion \(h\) mit der Winkelhalbierenden \(w.\) Diese sind schon in Aufgabe 2a) berechnet worden. Integriert wird also von –2 bis 4.

Schritt 2: Aufstellen der Integrandenfunktion

Wir ziehen die Funktionsterme zuerst voneinander ab und integrieren dann. Setze also
\(f(x)=h(x)-w(x)\) mit \(h(x)=-\frac12x^2+2x+4\) und \(w(x)=x.\)
Dann ist \(f(x)=-\frac12x^2+x+4.\) Diese Funktion wird im Integrationsbereich nie negativ (da \(h\) immer oberhalb von \(w\) verläuft). Somit ist die Flächenbilanz (also das Integral) gleich der gesuchten Fläche.

Schritt 3: Eine Stammfunktion benutzen

\(A=\int^4_{-2}(-\frac12x^2+x+4)dx\\ =-\frac16x^3+\frac12x^2+4x\vert^4_{-2}\)

Schritt 4: Rechnung

\(A=\left(-\frac16\cdot4^3+\frac12\cdot4^2+4\cdot4\right)-\left(-\frac16\cdot(-2)^3+\frac12\cdot(-2)^2+4\cdot(-2)\right)\\ =18 \;\text{FE}\)

Dies ist nun die Fläche zwischen \(G_h\) und \(w,\) was aufgrund der Symmetrie des Modells genau die Hälfte der Blattfläche ausmacht. Unter Berücksichtigung des vorgegebenen Maßstabs erhalten wir eine Blattfläche von 36 cm2.

b)

Schritt 1: Skizze

Abi 2014 Analysis Teil B, AG 1 - Abbildung 4

Schritt 2: Bestimmung der Tangente

Die Tangente hat die Form \(x=mx+t.\) Zunächst mit \(m\) bestimmen:
\(m=h'(-2),\)
wobei
\(h(x)=-\frac12x^2+2x+4.\) Somit ist
\(h'(x)=-x+2\) und speziell
\(h'(-2)=4.\) Nun lautet unsere Geradengleichung \(y=4x+t.\)

Um \(t\) zu bestimmen, setzen wir die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden in die Gleichung ein. Die Tangente soll durch den Punkt \((-2|-2)\) gehen, also setzen wir \(x=-2\) und \(y=-2\) ein.
\(-2=4\cdot(-2)+t\Leftrightarrow t=6\)

Also lautet die Tangentengleichung: \(y=4x+6\)

Schritt 3: Winkel zwischen Gerade und x-Achse

Offensichtlich ist der gesuchte Blattöffnungswinkel doppelt so groß wie der Winkel zwischen der Tangente und der Winkelhalbierenden \(w.\) Diesen wiederum erhalten wir durch Subtraktion der beiden Neigungswinkel zur x-Achse, die wir als Nächstes bestimmen.

Bezeichne mit \(\alpha\) den Winkel, den die Tangente mit der x-Achse bildet. Für den Winkel \(\alpha\) gilt: \(\tan α = 4,\) denn die Steigung der Tangente beträgt 4 (s. o.). Somit ist \(\alpha=\tan^{-1}(4)\approx75,96°\) (wir sehen anhand der Skizze, dass \(0<\alpha<90°\) ist, also wählt der Taschenrechner den richtigen Zweig des Arcustangens).

Die Winkelhalbierende bildet mit der x-Achse einen Winkel von 45°.

Schritt 4: Subtraktion der beiden Winkel

Der Winkel zwischen der Tangente und der Winkelhalbierenden ist die Differenz der oben bestimmten Winkel, also \(\alpha\; – 45°\approx 30,96°.\)
Diesen Winkel verdoppeln wir, um den gesuchten Winkel zwischen der Tangente und ihrer Spiegelung an der Winkelhalbierenden zu bekommen. Der Wert des Winkels beträgt 61,92°.

c)

Die obere Blattkante wird nun im Intervall durch die Funktion
\(f(x)=\begin{cases}h(x)\; für \;x>0\\k(x)\;für\;x\le0\end{cases}\)
beschrieben. Die Bedingungen I und II stellen sicher, dass f im Punkt \((0|4)\) stetig und differenzierbar ist, sodass dort \(G_h\) ohne Sprung und ohne Knick in \(G_k\) übergeht. Bedingung III bewirkt, dass die obere und untere Blattkante sich in der Blattspitze bei \((-2|-2)\) treffen.

Zur Bedingung IV: \(k'(-2)=1,5<4=h'(-2)\) bedeutet, dass k in der Nähe der Blattspitze langsamer ansteigt (also flacher verläuft) als \(h.\) Damit wird bewerkstelligt, dass der Öffnungswinkel an der Blattspitze kleiner wird und diese etwas gebogen erscheint.

  • Punkte:  14

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