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Abi 2014 Analysis, Teil A, AG 2


Aufgabe 1

a)

Um eine Funktion \(f\) an der y-Achse zu spiegeln, muss man im Funktionsterm jedes \(x\) durch \(-x\) ersetzen. Im vorliegenden Fall wird aus der ursprünglichen Funktion \(f(x)=\sin(x)\) die Funktion \(g(x)=\sin(-x)\).

b)

Schritt 1: Skizze

Abi 2014 Analysis, Teil A, AG 2 - Abbildung 1

Schritt 2: Passenden Funktionsterm suchen

Die Sinusfunktion hat den Wertebereich [−1;1].
Für den geforderten Wertebereich [1;3] muss man die Sinusfunktion um zwei Einheiten nach oben verschieben.
Die Verschiebungsformel liefert den Funktionsterm \(h(x)=\sin(x)+2\).

c)

In dem Term \(\sin(bx) \) bestimmt der Parameter \(b\) die Periodenlänge. Die Periodenlänge beträgt \(\frac{2\pi}{b}\). Wenn die Periode \(\pi\) sein soll, muss \(b=2\) sein.
Eine Lösung lautet also \(k(x)=\sin(2x)\).

  • Punkte:  3

Aufgabe 2

a)

Schritt 1: Funktionsterm gleich Null setzen

\(f(x)=e^x\cdot(2x+x^2)\), also
\(f(x)\stackrel{!}{=}0\Leftrightarrow e^x\cdot(2x+x^2)=0\)

Schritt 2: Einzelne Faktoren gleich Null setzen

\(e^x\cdot(2x+x^2)=0\)
\(\Leftrightarrow e^x=0\)  oder \(2x+x^2=0 \)
Die Gleichung \(e^x=0\) hat keine Lösung.
\(2x+x^2=0\)
\(\Leftrightarrow x(2+x)=0\Leftrightarrow x=0\) oder \(x=-2\)

Schritt 3: Nullstellen angeben

Die Funktion f hat also zwei Nullstellen, \(x_{1}=0\) und \(x_{2}=-2\).

b)

\(F\) ist eine Stammfunktion von \(f,\) wenn gilt: \(F'(x)=f(x)\).
Wir bestimmen die Ableitung von \(F(x)\) mit der Produktregel:
\(F'(x)=(x^2)'\cdot e^x+x^2(e^x)'=2x\cdot e^x+x^2e^x=(2x+x^2)e^x=f(x)\)

Jede Funktion der Form \(x^2\cdot e^x+C\) ist eine Stammfunktion von ​\(f\).
Um \(C\) zu bestimmen, setzen wir für \(x\) 1 ein. Das Ergebnis muss \(2e\) sein.
\(e+C=2e,\) also \(C=e \). Setze daher \(G(x) =x^2\cdot e^x+e\).

  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Wendepunkte einer zweimal differenzierbaren Funktion sind Nullstellen der zweiten Ableitung mit Vorzeichenwechsel. Da g zwei Wendepunkte im Intervall [−5;5] hat, muss g'' in diesem Bereich zwei Nullstellen haben, also kommen nur die Graphen I und III infrage. Bei Graph III treten keine Vorzeichenwechsel auf, also ist Graph I der gesuchte.

  • Punkte:  2

Aufgabe 4

Schritt 1: Zielfunktion aufstellen

Abi 2014 Analysis, Teil A, AG 2 - Abbildung 2

Wir suchen eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x.\) Die Formel für den Flächeninhalt von Rechtecken lautet im Allgemeinen \(A=a\cdot b\), wenn \(a\) und \(b\) die Seitenlängen sind.

Wir bezeichnen den Eckpunkt des Rechtecks, der auf dem Funktionsgraphen liegt, mit \(P.\) Dann ist die Länge des Rechtecks offensichtlich \(x_p\) und die Höhe \(y_p\) und damit ist \(A=x_p\cdot y_p\).

Schritt 2: Unbekannte eliminieren

Wir ersetzen \(y_p\) durch \(-\ln(x)\). Damit haben wir eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\).

\(A(x)=x\cdot(-\ln(x))=-x\cdot\ln(x)\)

Schritt 3: Extremwerte berechnen

Gesucht ist der Hochpunkt der Funktion, das heißt, es muss gelten:
\(A'(x)\stackrel{!}{=}0\) und \(A''(x)<0\)

Wir berechnen die 1. Ableitung mit der Produktregel.
\(\begin{align*} A'(x)&=(-x)'\cdot \ln(x)+(-x)\cdot(\ln(x))'\\ &=-\ln(x)- x\cdot\frac1x\\ &=-\ln(x)-1, \end{align*}\)

wobei Nullsetzen liefert:
\(-\ln(x)-1=0\Leftrightarrow\ln(x)=-1\Leftrightarrow x=e^{-1}=\frac1e\)

Schritt 4: Art des Extremwertes bestimmen

\(A''(x)=-\frac1x\\ A''(\frac1e)=-e<0\Rightarrow \text{Hochpunkt}\)

Das Rechteck mit der größten Fläche hat die Seitenlängen \(\frac1e\) und \(-\ln\frac1e=1\).

  • Punkte:  2

Aufgabe 5

a)

Schritt 1: Nullstelle von \(f\) interpretieren

Die gesuchte Stammfunktion von \(f\) bezeichnen wir mit \(F.\)

Die Steigung des Graphen von \(F\) ist durch den Graphen von \(f\) gegeben.
Im Intervall \([a;b]\) hat \(f\) eine Nullstelle \(x_0\) mit Vorzeichenwechsel: Links von \(x_0\) ist \(f\) positiv und rechts von \(x_0\) ist \(f\) negativ. Das bedeutet: Links von \(x_0\) steigt der Graph von \(F\) streng monoton, rechts von \(x_0\) fällt der Graph von \(F\) streng monoton.
An der Stelle \(x_0\) hat daher der Graph von \(F\) einen Hochpunkt \(H.\)

Schritt 2: Tiefpunkt von \(f\) interpretieren

Wegen \(F'(x)=f(x)\) ist \(F''(x)=f'(x).\)
\(f\) hat einen Tiefpunkt, dessen \(x\)-Koordinate wir mit \(x_1\) bezeichnen. Damit hat hier \(f'\) und damit auch \(F''\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Also hat der Graph von \(F\) an der Stelle \(x_1\) einen Wendepunkt \(W.\)
Der Wendepunkt \(W\) liegt tiefer als der Hochpunkt \(H,\) da der Graph von \(F\) in diesem Bereich streng monoton fällt.

Schritt 3: Bereich mit \(F(x)\) (fast) konstant interpretieren

Rechts von der Stelle \(x_2\) (siehe Skizze unten) ist \(f(x)\) und damit die Steigung des Graphen von \(F\) (soweit man sehen kann) konstant. In diesem Bereich sieht also der Graph von \(F\) aus wie eine Gerade.

b)

Die Daten aus Teilaufgabe a) liefern folgendes Bild (Stammfunktion blau):

Abi 2014 Analysis, Teil A, AG 2 - Abbildung 3

  • Punkte:  5

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

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