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Abi 2013 Analysis Wahlteil, Aufgabe A2


Aufgabe A 2.1

Aufgabe 2.1a)

Schritt 1: Maximale Zuflussrate bestimmen

Eingabe im GRAPH-Modus des GTR: 10000×(e^(-0.5×X)-e^(-X)).

Der Menüpunkt DRAW liefert eine Skizze von \(r\). Im G-Solv-Menü liefert der Menüpunkt MAX eine Näherung für den Maximalwert, nämlich 2500.

Schritt 2: Zeiten mit \(r(t)> 2000\) finden

Eingabe von 2000 als zweiter Funktion im GTR und Anpassung der Grafik-Ansicht im V-Window-Menü (dort Ymax=2500 setzen) zeigt, dass es zwischen \(x\) = −6,3 und \(x\) = 6,3 zwei Stellen gibt, zwischen denen die Werte von \(r\) oberhalb von 2000 liegen. Mit dem ISCT-Befehl im G-Solv-Menü findet man diese Stellen bei etwa \(x\) = 0,647 und \(x\) = 2,572.

Etwas mehr als 36 min nach Regenbeginn übersteigt die Zuflussrate erstmals 2000 Liter pro Stunde. Sie fällt erst gut \(2 \frac {1}{2}\) Stunden nach Regenbeginn wieder unter diesen Wert.

Schritt 3: Zeitpunkt der stärksten Abnahme der Zuflussrate finden

Gesucht ist das Minimum von \(r'\). Eingabe im GTR: Y3=d/dx(Y1). 

Im G-Solv-Menü liefert der Menüpunkt MIN einen \(x\)-Wert von etwa 2,77. Die Zuflussrate nimmt also etwa \(2\frac{3}{4}\) h nach Regenbeginn am stärksten ab.

Aufgabe 2.1b)

Schritt 1: Wassermenge nach 3 Stunden berechnen 

Nachdem der Tank zu Beginn leer ist, ist die Füllmenge zum Zeitpunkt t = 3 gegeben durch \(\int_{0}^{3} r(\tau)d\tau\).

Im G-Solv-Menü kann mit dem ∫dx-Befehl unter Eingabe der Untergrenze 0 und der Obergrenze 3 der Wert des Integrals berechnet werden. Man erhält 6035,27, d. h., es sind nach 3 Stunden etwas mehr als 6000 Liter im Tank.

Schritt 2: Zeitpunkt mit Wassermenge 5000 Liter bestimmen

Eingabe im GTR: Y4=fnInt(Y1,X,0,X) und Y5=5000. Mit dem ISCT-Befehl im G-Solv-Menü findet man die Schnittstelle dieser Funktionen bei etwa \(t\) = 2,46. Nach knapp \(2\frac{1}{2}\) Stunden befinden sich also 5000 Liter im Tank.

Aufgabe 2.1c)

Schritt 1: Wasserentnahme in den ersten 12 Stunden 

Die beiden Funktionen \(r\) und \(w\) unterscheiden sich um den konstanten Wert 400, d. h., es werden ab der 4. Stunde 400 Liter pro Stunde entnommen. In den ersten 12 Stunden nach Regenbeginn wird also 9 Stunden lang Wasser entnommen.

Entnommene Wassermenge: \(9\ h\cdot 400 \frac{l}{h}=3600\ l\)

Schritt 2: Fallender Wasserpegel 

Der Wasserpegel im Tank fängt an zu sinken, wenn die Zuflussrate \(r\) unterhalb der Entnahmerate von 400 ℓ/h für die Bewässerung fällt. Um die Zeiten bis \(t\) = 12 erfassen zu können, muss im V-Window-Menü Xmax=12 (oder größer) festgelegt werden. Der X-CAL-Befehl im G-Solv-Menü liefert dann \(t_{max}\) ≈ 6,35 für den Zeitpunkt, zu dem der Wert 400 erstmals unterschritten wird. Nach gut  \(6\frac{1}{2}\) Stunden nimmt der Wasserpegel im Tank wieder ab. 

Schritt 3: Maximale Wassermenge

Die maximale Wassermenge ist zum Zeitpunkt \(t_{max}\) im Tank, denn ab dann sinkt der Pegel wieder. Die Wassermenge im Tank setzt sich zusammen aus dem Zufluss während der ersten 3 Stunden und dem Zu- und Abfluss bis zum Zeitpunkt \(t_{max}\).

\(V_{max}=\int_{0}^{3} r(t)dt+\int_{3}^{t_{max}}w(t)dt\)

Gibt man Y6=Y1-400 im GTR ein, so liefert der ∫dx-Befehl im G-Solv-Menü unter Eingabe der Untergrenze 3 und der Obergrenze 6,35 den Wert \(\int_{3}^{t_{max}} w(t)dt\approx1806,32\). Somit ergibt sich:

\(V_{max}\approx 6035,27+1806,32=7841,59\)

Die maximale Wassermenge im Tank beträgt ca. 7842 ℓ. 

Aufgabe A 2.2

Schritt 1: Integral aufstellen und Stammfunktion suchen 

Die Funktion \(f\) hat an den Rändern ihres Definitionsbereichs (bei \(x\) = 0 und \(x\) = 1) Nullstellen und ist ansonsten positiv. Die Fläche zwischen \(G_{f}\) und der \(x\)-Achse erstreckt sich daher von \(x\) = 0 bis \(x\) = 1 und liegt ganz oberhalb der \(x\)-Achse. Deswegen ist \(A=\int_{0}^{1} f(x)dx\) mit \( f(x)=sin(\pi x)\).

Eine Stammfunktion der Sinusfunktion ist durch \(x\rightarrow-cos(x)\) gegeben. Nach der Regel der linearen Substitution ist also \(F(x)=-\frac{1}{\pi}cos(x)\) eine Stammfunktion von \(f\)

Schritt 2: Integrationsgrenzen in Stammfunktion einsetzen und rechnen 

Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist:

\(A\;=\int_{0}^{1} f(x)dx=[F(x)]_{0}^{1}\\ \;\;\;= [-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)]_{0}^{1} \\ \;\;\;= -(\frac{-1}{\pi})-(-\frac{1}{\pi}) \\ \;\;\;= \frac{2}{\pi}\)

Schritt 3: Ansatz mit allgemeiner quadratischer Funktion notieren 

Eine ganzrationale Funktion \(g\) zweiten Grades mit den angegebenen Nullstellen bei \(x\) = 0 und \(x\) = 1 hat eine Funktionsgleichung der Form:

\(g(x)= a\cdot (x-0)\cdot(x-1)=a(x^2-x)\) für ein \(a\in\mathbb R \).

Schritt 4: Funktionsgleichung bestimmen 

Die Fläche zwischen \(G_{f}\) und der \(x\)-Achse ist dann:

\(\int_{0}^{1} g(x)dx=\int_{0}^{1} (a(x^2-x))dx \\ \quad \quad = a[ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{1} \\ \quad \quad = a(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-(0-0))\\ \quad \quad = -\frac{a}{6}\)

Denn \(G(x) = \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\) ist eine Stammfunktion von \(g\). Diese Fläche unter \(G_{g}\) ist halb so groß wie die Fläche \(A=\frac{2}{\pi}\), also gilt:

\(-\frac{a}{6}=\frac{1}{\pi}\Rightarrow -\frac{6}{\pi}\)

Eingesetzt in die Formel liefert das die Funktionsgleichung:

\(g(x)=-\frac{6}{\pi}(x^2-x)\)

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
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