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Musterlösung

Musterlösung 2015 Lineare Algebra\Geometrie GA

Aufgabe 3A

Jeder Einwohner von Phantasia entscheidet sich monatlich neu für eine der Haarfarben rot (r), schwarz (s) oder braun (b). Die nebenstehende Übergangsmatrix \(M\) beschreibt modellhaft dieses Wechselverhalten von einem Monat zum nächsten. Es wird vorausgesetzt, dass sich dieses Wechselverhalten nicht ändert. Die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben werden durch folgenden Verteilungsvektor beschrieben: 

\(\\ \vec h=\begin{pmatrix}r\\s\\b\end{pmatrix}\)

\(\qquad\qquad r\qquad\ s \qquad\ b\\M=\begin{pmatrix}0,5&0,25&0\\0,5&0,5&0,5\\0&0,25&0,5 \end{pmatrix}\begin{array}\\r\\s\\b\end{array}\)

a) Erläutern Sie die Bedeutung aller Werte in der linken Spalte der Übergangsmatrix \(M\) im Sachzusammenhang. Angenommen, die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben im Juni werden beschrieben durch:

\(\vec h_j=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\)
Bestimmen Sie die Bevölkerungsanteile mit roten, schwarzen bzw. braunen Haaren für den Monat September desselben Jahres.
Bestimmen Sie einen Verteilungsvektor so, dass die Bevölkerungsanteile von Monat zu Monat gleich bleiben.

(11 BE)

b) Ein anderes Wechselverhalten der Bevölkerung wird durch die nebenstehende Matrix \(N\) beschrieben. Entscheiden Sie für jeden der folgenden Fälle, ob eine Matrix \(N\) angegeben werden kann: 

  • Braunhaarige Einwohner haben im Folgemonat nie rote Haare. 
  • Alle Einwohner werden langfristig rote Haare haben. 

\(\qquad\qquad\ r\ \ \quad\quad s \qquad\quad b\\N=\begin{pmatrix}u&0,5&0,6-w\\1-u&0&2\cdot w\\0&0,5&0,4-w \end{pmatrix}\begin{array}\\r\\s\\b\end{array}\)

(6 BE)

Lösung

a)

Erläuterung der Bedeutung der linken Spalte

In der linken Spalte steht das Wechselverhalten der Einwohner mit zurzeit roter Haarfarbe. Konkret ist abzulesen, dass \(50\ \%\) der Einwohner mit roten Haaren im kommenden Monat erneut die Haarfarbe rot wählen. Die anderen \(50\ \%\) wählen im kommenden Monat die Haarfarbe schwarz.

Bestimmung der Bevölkerungsanteile mit verschiedenen Haarfarben

Da der September 3 Monate von Juni entfernt ist, ergibt sich für die Bestimmung der Verteilung im September:

\(\vec h_s=\begin{pmatrix}0,5&0,25&0\\0,5&0,5&0,5\\0&0,25&0,5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,1875\\0,5\\0,3125\end{pmatrix}\)

Ergebnis

Im September werden \(18,75\ \%\) der Einwohner rote Haare, \(50\ \%\) schwarze und \(31,25\ \%\) braune Haare haben.

Bestimmung des Fixvektors

Für den Fixvektor \(\\ \vec p=\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}\) gilt mit der vorgegebenen Matrix:

\(\begin{pmatrix}0,5&0,25&0\\0,5&0,5&0,5\\0&0,25&0,5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}\)

Daraus ergibt sich mit \(p_1+p_2+p_3=1\) das Gleichungssystem:

\(\left| \begin{array}{r}\\0,5\cdot p_1&+&0,25\cdot p_2&&&=&p_1\\0,5\cdot p_1&+&0,5\cdot p_2&+&0,5\cdot p_3&=&p_2\\&& 0,25\cdot p_2&+&0,5\cdot p_3&=&p_3\\p_1&+&p_2&+&p_3&=&1\end{array} \Longleftrightarrow \right|\begin{array}{r}\\-0,5\cdot p_1&+&0,25\cdot p_2&&&=&0\\0,5\cdot p_1&-&0,5\cdot p_2&+&0,5\cdot p_3&=&0\\&& 0,25\cdot p_2&-&0,5\cdot p_3&=&0\\p_1&+&p_2&+&p_3&=&1\end{array}\)

Das lineare Gleichungssystem wird mit dem Taschenrechner gelöst. Es ergibt sich:

\(p_1=0,25,\ p_2=0,5,\ p_3=0,25\)

Ergebnis

Wenn \(25\ \%\) der Einwohne rote Haare, \(50\ \%\) schwarze und \(25\ \%\) braune Haare haben, bleibt diese Verteilung für die weiteren Monate gleich.

b)

Entscheidung, ob eine Matrix N existiert

1. Fall:

Der Anteil der Einwohner mit braunen Haaren, die im kommenden Monat rote Haare haben, wird durch den Wert in der 1. Zeile, 3. Spalte angegeben.

Wenn es keine Einwohner mit diesem Wechselverhalten geben soll, muss der Wert 0 sein. Also müsste \(w = 0,6\) sein. Das ist aber nicht möglich, da dann in der 2. Zeile, 3. Spalte der Wert mit \(1,2\) über \(1\) läge. Also kann es solch eine Matrix \(N\) nicht geben.

2. Fall:

Damit langfristig alle Einwohner rote Haare haben, muss gewährleistet sein, dass die Einwohner mit roten Haaren in den weiteren Monaten bei roten Haaren bleiben. Das ist der Fall, wenn \(u = 1\) ist. Denn dann sind die Werte in der 1. Spalte, 2. und 3. Zeile der Matrix \(N\) 0.

Außerdem muss es möglich sein, dass es Wechsel von anderen Haarfarben zu rot gibt. Das ist aufgrund der Zahlenwerte in der Matrix für alle Werte von \(w\) mit \(0\leq w\leq0,4\) gegeben. Also gibt es solch eine Matrix \(N\).

Zum Beispiel erfüllt die Matrix \(N=\begin{pmatrix}1&0,5&0\\0&0&0,6\\0&0,5&0,1 \end{pmatrix}\) die Bedingung.

  • Punkte:  17

Aufgabe 3B

Ein quaderförmiger Discoraum hat die Ausmaße \(15\ m\)\(20\ m\) und \(6\ m\). Am Ort \(L(3 | 2| 5)\) befindet sich ein Laser, der Laserlicht in verschiedene Richtungen aussenden kann. Die Richtungen des Laserlichts lassen sich einstellen. Alle Koordinaten haben die Einheit Meter.

Musterlösung 2015 Lineare Algebra\Geometrie GA - Abbildung 1

a) Das Laserlicht soll in der Disco im Punkt \(P(7| 20| 4)\) auf die rechte Wand auftreffen. Bestimmen Sie den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor. Weisen Sie nach, dass das Laserlicht im Punkt \(A( 15 | 20 | 2)\) auf die rechte Wand auftrifft, wenn die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor \(\begin{pmatrix}4\\6\\-1\end{pmatrix}\) eingestellt wird. 
Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(A\) vom Laser.

(9 BE)

b) Der Laserstrahl beschreibt bei geeigneter Einstellung auf der vorderen Wand eine Strecke, die vom Punkt \(B(15| 0| 2)\) bis zum Punkt \(A (15 | 20 | 2) \) verläuft. 
Zeigen Sie, dass der Laserstrahl senkrecht zu dieser Strecke verläuft, wenn er den Punkt \(C(15 | 2| 2)\) trifft. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes \(D\), der auf der Strecke \(BA\) liegt und vom Laser den gleichen Abstand hat wie der Punkt \(B\) vom Laser. 

(8 BE)

Lösung

a)

Bestimmung des Richtungsvektors

Das Laserlicht geht von \(L(3 | 2 | 5)\) aus und endet in \(P(7 | 20| 4)\). Damit folgt für den Richtungsvektor:

\(L\dot P=O\dot P-O\dot L=\begin{pmatrix}7\\20\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\18\\-1\end{pmatrix}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Nachweis, dass das Licht in Punkt A auftrifft

Zunächst wird eine Geradengleichung aufgestellt, die das Laserlicht repräsentiert. Dabei ist \(\vec{OL}\) der Stützvektor der Geraden. Es folgt:

\(g:\vec x=\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}4\\6\\-1\end{pmatrix}\)

Für den Nachweis wird der Term der Geradengleichung mit \(\vec{OA}\) gleichgesetzt.

\(\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}4\\6\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}\Leftrightarrow r\cdot \begin{pmatrix}4\\6\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\18\\-3\end{pmatrix}\)

Diese Vektorgleichung wird für \(r = 3\) gelöst.

Die y-Koordinate von \(A\) beträgt \(20\ [\text{m}]\), was genau die Entfernung zwischen der linken und rechten Wand ist. Außerdem gilt für die x-Koordinate \(0\leq x\leq15\) und für die z-Koordinate \(0\leq z\leq6\).

Ergebnis

Damit ist gezeigt, dass das Laserlicht im Punkt \(A\) auf die rechte Wand trifft.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Abstand des Punktes A vom Laser

Für den Abstand des Punktes \(A\) vom Laser gilt:

\(d=\sqrt{(x_A-x_L)^2+(y_A-y_L)^2+(z_A-z_L)^2}\\\ \ =\sqrt{(15-3)^2+(20-2)^2+(2-5)^2}\\\ \ \approx21,84\ [\text{m}]\)

Ergebnis

Der Abstand des Punktes \(A\) vom Laser beträgt etwa \(21,84\ \text{m}\).

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b)

Zeigen, dass der Laserstrahl unter bestimmten Bedingungen senkrecht zu einer Strecke verläuft

Zu zeigen ist, dass \(B\dot A\) senkrecht zu \(\overline{CL}\) verläuft.

Es ist:

\(B\dot A=O\dot A-O\dot B=\begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\20\\0\end{pmatrix}\) und

\(C\dot L=O\dot L-O\dot C=\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12\\0\\3\end{pmatrix}\)

Das Skalarprodukt der Vektoren \(B\dot A\) und \(\overline{CL}\) ist:

\(B \dot A \circ C\dot L=0\cdot(-12)+20\cdot0+0\cdot3\)

Da das Skalarprodukt 0 ist, stehen die beiden Vektoren \(B\dot A\) und \(\overline{CL}\) senkrecht zueinander.

Ergebnis

Der Laserstrahl verläuft senkrecht zur Strecke \(\overline{BA}\), wenn er den Punkt \(C\) trifft.

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Bestimmung der Koordinaten des Punktes D

Der Punkt \(C\) liegt auf der Strecke \(\overline{BA}\). Da der Laser im Punkt \(C\) senkrecht auf die Strecke \(\overline{BA}\) trifft, muss aus Symmetriegründen der Punkt \(B\) vom Laser genau den gleichen Abstand wie der gesuchte Punkt \(D\) vom Laser haben.

Musterlösung 2015 Lineare Algebra\Geometrie GA - Abbildung 2

Für den Ortsvektor von \(D\) ergibt sich somit:

\(O\dot D=O\dot C+B\dot C=O\dot C+O\dot C-O\dot B=\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\4\\2\end{pmatrix}\)

Ergebnis

Die Koordinaten von \(D\) lauten \(D(15 | 4 | 2)\).

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  • Punkte:  17
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