Man kann bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) die Koeffizienten auf den linken Seiten der Gleichungen (also die Vorfaktoren vor den Variablen) zu einer Matrix zusammenfassen, die man naheliegenderweise die Koeffizientenmatrix nennt.
Wenn das System z. B. aus drei Gleichungen und drei Variablen (Unbekannten) besteht,
\(\begin{matrix} &(\text I) &a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& a_{13} x_3 &=& b_1 \\ &(\text{II}) &a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& a_{23} x_3 &=& b_2 \\ &(\text{III}) &a_{31} x_1 &+& a_{32} x_2 &+& a_{33} x_3 &=& b_3 \end{matrix}\)
ist die Koeffizientenmatrix die Matrix
\(A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\)
Damit kann man das Gleichungsystem auch als Matrix-Vektor-Gleichung schreiben:
\(A \cdot \vec x = \vec b\), mit \(\vec x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) und \(\vec b = \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\)
Die Matrix
\(A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3\\ \end{array}\right)\)
nennt man die erweiterte Koeffizientenmatrix, sie spielt bei der Beurteilung der Lösbarkeit des LGS mithilfe von Determinanten eine Rolle.