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Wie du den Abstand einer Kugel von einer Ebene bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Abstand einer Kugel von einer Ebene bestimmst

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene \(E:3x_2+4x_3=5\).

Untersuche rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt \(Z(1|6|3)\) und Radius 7 die Ebene \(E\) schneidet.

Schritt 1: Hessesche Normalform der Ebene bestimmen

Die Kugel schneidet die Ebene genau dann, wenn ihr Mittelpunkt \(Z\) von der Ebene einen kleineren Abstand hat als der Radius.

Wie du den Abstand einer Kugel von einer Ebene bestimmst - Abbildung 1

Du musst also den Abstand von \(Z\) zu \(E\) bestimmen. Wie immer bei Abstandsbestimmungen mit Ebenen brauchst du die hessesche Normalform, die du in zwei ganz kurzen Teilschritten aus der vorgegebenen Koordinatenform bestimmen kannst.

Normalenvektor der Ebene aus Koordinatengleichung ablesen

Die Koeffizienten vor den Variablen in der Koordinatengleichung bilden zusammen einen Normalenvektor der Ebene \(E\)\(x_1\) kommt in der Gleichung gar nicht vor, also ist der zugehörige Koeffizient null; der \(x_2\)-Koeffizient ist 3 und der \(x_3\)-Koeffizient ist 4. Somit ist

\(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}\)

ein Normalenvektor von \(E\).

Koordinatengleichung durch den Betrag des Normalenvektors teilen

Bringe zuerst die Konstante 5 auf die linke Seite der Koordinatengleichung, damit rechts null steht.

\(E:3x_2+4x_3-5=0\)

Jetzt musst du diese Koordinatengleichung durch den Betrag des Normalenvektors \(\vec{n}\) teilen. Dieser ist:

\(\left|\vec{n}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\)

Die Ebenengleichung in hessescher Normalform lautet somit:

\(E:\frac{3x_2+4x_3-5}{5}=0\)

Schritt 2: Abstand des Kugelmittelpunkts zur Ebene mit dem Radius vergleichen

Der Kugelmittelpunkt ist Z(1|6|3). Diese Koordinaten setzt du in die hessesche Normalform von E ein und nimmst den Betrag, um den Abstand von Z zu E zu berechnen.

\(d(Z,E)=\left|\frac{3\cdot 6+4\cdot 3-5}{5}\right|=5\)

Das ist weniger als der Radius (7), somit schneidet die Kugel die Ebene.

Bemerkung

Ist M der Mittelpunkt einer Kugel vom Radius r und E eine Ebene, so gilt für den Abstand d von M zu E und den Abstand D der Kugel zur Ebene Folgendes:

Ist \(d\leq r\), so ist \(D=0\). Ansonsten ist \(D=d+r\).
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