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Wie du Symmetrie von Graphen nachweist


Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{20x}{x^2-25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\).

Wie du Symmetrie von Graphen nachweist - Abbildung 1

Zeige, dass \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-5;5\}\) gilt und dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen

Der Funktionsterm ist ein Bruch, bei dem der Nenner nicht \(0\) werden darf. Die Funktion \(f\) ist deshalb nur dort definiert, wo \(x^2-25\neq 0\) ist. Mithilfe der 3. binomischen Formel vereinfacht sich diese Bedingung zu:


\(\begin{align*} &x^2-25\neq 0\\ \Longleftrightarrow&(x+5)(x-5)\neq 0\\ \Longleftrightarrow& x\neq -5\text{ und }x\neq 5\\ \Longleftrightarrow& x\in\mathbb{R}\setminus\{-5;5\} \end{align*}\)

Der Definitionsbereich von \(f\) ist somit \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-5;5\}\).

Schritt 2: Symmetriebedingung prüfen

Zu zeigen ist, dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Da der Koordinatenursprung ein Punkt ist, heißt symmetrisch in diesem Fall punktsymmetrisch.

Punktsymmetrie des Graphen \(G_f\) zum Ursprung prüfst du mit der Gleichung \(f(-x)=-f(x)\).

Du musst also im Funktionsterm von \(f\) jedes \(x\) durch \((-x)\) ersetzen und prüfen, ob das Ergebnis gleich \(-f(x)\) ist.

Lösung

Es ist


\(\begin{align*} f(-x)&=\frac{20\cdot(-x)}{(-x)^2-25}\\ &=\frac{-20x}{x^2-25}\\ &=-\frac{20x}{x^2-25} \end{align*}\)

und das ist genau \(-f(x)\). Also ist \(G_f\) punktsymmetrisch zum Ursprung.

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