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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion bestimmst

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)=\cos(x)\) und \(g(x)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)-2\).

  1. Beschreibe, wie man den Graphen von \(g\) aus dem Graphen von \(f\) erhält.
  2. Bestimme die Nullstellen von \(g\) für \(0\leq x\leq 4\).

Aufgabenteil a)

Schritt 1: Transformation von f nach g erklären

Um den Übergang von einer gewöhnlichen Sinus- oder Kosinusfunktion zu einer allgemeinen Sinus- oder Kosinusfunktion zu erklären, musst du die Parameter im Funktionsterm von innen nach außen durchgehen. Im Funktionsterm für \(g\) haben wir drei Parameter: links den Streckungsfaktor 2, im Argument des Kosinus den Periodenstreckungsfaktor \(\frac{\pi}{2}\) und rechts den Verschiebungsfaktor \(-2\).

Periodenstreckung erklären

Der innerste Parameter ist der Faktor \(\frac{\pi}{2}\) direkt vor der Variablen \(x\) im Argument des Kosinus. Dieser Faktor streckt oder staucht den Graphen in Richtung der \(x\)-Achse, d. h. die Höhe der Maxima und Minima wird von diesem Parameter nicht beeinflusst, die Maxima rücken aber enger zusammen, wenn dieser Parameter \(>1\) ist (Stauchung), bzw. weiter auseinander, wenn er zwischen 0 und 1 liegt. In diesem Fall haben wir \( \frac{\pi}{2}>1\), also liegt eine Stauchung um den Faktor \(\frac{\pi}{2}\) vor. Das erklärt den Übergang von \( f(x)=\cos(x)\) zu \(f^*(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\).

Wie du Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion bestimmst - Abbildung 1

Streckung erklären

Wegen der Regel „Punkt vor Strich“ musst du als Nächstes den Streckungsfaktor 2 berücksichtigen, bevor du den Verschiebungsfaktor \(-2\) erklärst. Der Übergang von \( f^*(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) zu \(f^{**}(x)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \)bedeutet eine Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor 2, das heißt, die Maxima und Minima haben dieselben \(x\)-Koordinaten wie vorher, haben aber jetzt die doppelte Entfernung von der \(x\)-Achse.

Wie du Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion bestimmst - Abbildung 2

Verschiebung erklären

Die Funktion \(g(x)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)-2\) unterscheidet sich von \(f^{**}(x)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) nur noch durch den Verschiebungsfaktor \(-2\) ganz rechts. Dieser bewirkt eine Verschiebung des Graphen um 2 LE nach unten (also in negative \(y\)-Richtung).

Wie du Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion bestimmst - Abbildung 3

Zusammengefasst liefert das die Lösung für Teilaufgabe a).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch Stauchung in \(x\)-Richtung um den Faktor \(\frac{\pi}{2}\), anschließende Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor 2 und Verschiebung um 2 LE in negative \(y\)-Richtung hervor.

Aufgabenteil b)

Schritt 1: Gleichung vereinfachen

Die Nullstellen der Funktion \(g\) sind die Lösungen der Gleichung:

\(\begin{align*} &g(x)=0\\ \Longleftrightarrow &2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)-2=0\\ \Longleftrightarrow &2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)=2\\ \Longleftrightarrow &\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)=1 \end{align*}\)

Aufgabenteil b)

Schritt 2: Gleichung lösen

Die Substitution \(u=\frac{\pi}{2}x \) liefert \(\cos(u)=1\).

1 ist der Maximalwert der Kosinusfunktion, der genau an der Stelle \(2k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\) angenommen wird. Die Lösungen der vorliegenden Gleichung lauten also \(u=2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})\). Setzt du das in die Substitutionsgleichung \(u=\frac{\pi}{2}x\) ein, so bekommst du:

\(\frac{\pi}{2}x=\frac{\pi}{2}x\Longleftrightarrow x=4k\)

Die Lösungen zur Gleichung \(\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)=1\) lauten also \(x=4k\) (\(k\in\mathbb{Z}\)). Davon liegen aber nur \(x=0\) und \(x=4\) im vorgegebenen Intervall \([0;4]\).

Die gesuchten Nullstellen der Funktion \(g\) sind somit \(x=0\) und \(x=4\).

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