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Wie du lineares und exponentielles Wachstum unterscheidest


Aufgabe

Die folgenden Wertetabellen beschreiben jeweils einen Wachstumsvorgang. Entscheide, ob es sich dabei um lineares oder exponentielles Wachstum handelt.

a)

x 0 1 2 3
f(x) 12 18 27 40,5

b)

x 0 1 2 3
f(x) 57 99 141 183

 

Lösungsschritt für a)

Schritt 1: Überprüfe auf exponentielles Wachstum

Um herauszufinden, ob es sich bei einem Wachstum um exponentielles Wachstum handelt, musst du in der Wertetabelle benachbarte Funktionswerte dividieren.

Teile also zum Beispiel f(1) durch f(0).

\(\frac{f(1)}{f(0)} = \frac{18}{12} = 1,5\)

Diesen Rechenschritt wiederholst du für zwei andere benachbarte Funktionswerte, zum Beispiel für f(1) und f(2).

\(\frac{f(2)}{f(1)} = \frac{27}{18} = 1,5\)

Beide Male erhältst du das gleiche Ergebnis, nämlich 1,5.

Dies bedeutet, dass es sich bei dem dargestellten Wachstumsprozess um exponentielles Wachstum handelt.

Merke dir also: Wenn beim Dividieren von je zwei benachbarten Werten immer der gleiche Funktionswert herauskommt, handelt es sich um exponentielles Wachstum.

Lösungsschritte für b)

Schritt 1: Überprüfe auf exponentielles Wachstum 

Um zu überprüfen, ob es sich beim dargestellten Wachstumsprozess um exponentielles Wachstum handelt, musst du wieder zwei benachbarte Funktionswerte dividieren.

\(\frac{f(1)}{f(0)} = \frac{99}{57} = \frac{33}{19}\)

Den gleichen Rechenschritt führst du nun auch für weitere zwei benachbarte Funktionswerte aus.

\(\frac{f(2)}{f(1)} = \frac{141}{99} = \frac{47}{33}\)

Die beiden Ergebnisse sind nicht gleich; es handelt sich also nicht um exponentielles Wachstum.

Schritt 2: Überprüfe auf lineares Wachstum

Nun musst du überprüfen, ob es sich bei dem dargestellten Wachstumsprozess um lineares Wachstum handelt. Dazu musst du zwei benachbarte Funktionswerte voneinander abziehen.

\(f(1) - f(0) = 99 - 57 = 42\)

Den gleichen Rechenschritt führst du für zwei andere benachbarte Funktionswerte aus.

\(f(2) - f(1) = 141 - 99 = 42\)

Bei beiden Rechenschritten erhältst du das gleiche Ergebnis. Es handelt sich dann um lineares Wachstum.

Merke dir also: Wenn beim Subtrahieren von je zwei benachbarten Funktionswerten beide Male der gleiche Wert herauskommt, handelt es sich um lineares Wachstum.

Lösung

Teilaufgabe a): Es handelt sich um exponentielles Wachstum.

Teilaufgabe b): Es handelt sich um lineares Wachstum.

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