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Wie du Funktionsterme ihren Graphen zuordnest


Aufgabe

Eine der folgenden Abbildungen zeigt den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-3x-2\).

Wie du Funktionsterme ihren Graphen zuordnest - Abbildung 1

Begründen Sie, dass die Abbildung 2 den Graphen von \(f \) zeigt.

Schritt 1: Einfach zu erkennendes Unterscheidungsmerkmal finden

Die vier abgebildeten Graphen haben unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte. Der Schnittpunkt des Graphen mit der \(y\)-Achse ist in Abb. 1 der Punkt \((0|1) \), in Abb. 2 \((0|-2) \), in Abb. 3 wieder \((0|1) \) und schließlich in Abb. 4 \((0|-4)\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist leicht zu finden: Man braucht nämlich nur \(x=0\) im Funktionsterm einzusetzen.

Schritt 2: Merkmal am Funktionsterm prüfen

Setzt man \(x=0\) im vorgegebenen Funktionsterm von \(f\) ein, so ergibt sich:

\(f(0)=0^3-3\cdot 0-2=-2\)

Lösung

Also ist der \(y\)-Achsenabschnitt der Funktion \(f\) der Punkt \((0|-2)\). Dieses Merkmal hat nur der Graph in Abb. 2, also muss das der Graph von \(f \) sein.

Bemerkung

Wäre \(f(0)=1 \), so kämen sowohl Abb. 1 als auch Abb. 3 infrage und du müsstest ein anderes Merkmal finden, das diese beiden unterscheidet. Zum Beispiel geht die Funktion in Abb. 1 für \(x\longrightarrow\infty\) gegen \(\infty\) und die in Abb. 2 gegen \(-\infty\). Diese Eigenschaften hängen davon ab, ob der Koeffizient von \(x^3\) im Funktionsterm positiv (wie in Abb. 1) oder negativ (wie in Abb. 2) ist.

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