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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du eine Funktion auf Umkehrbarkeit prüfst

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \(f:x\longmapsto\frac{2e^x}{e^x+9}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb{R}\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f \) von \(f\).

Wie du eine Funktion auf Umkehrbarkeit prüfst - Abbildung 1

Begründe, dass \(f\) in \(\mathbb{R}\) umkehrbar ist.

Schritt 1: Bedingung für die Umkehrbarkeit finden

Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert nur einmal angenommen wird, das heißt, wenn es für jeden möglichen Wert \(y\) höchstens ein \(x\) mit \(f(x)=y\) gibt.

Wieder anders ausgedrückt: Eine Funktion ist umkehrbar, wenn ihr Graph jede waagerechte Gerade höchstens einmal schneidet.

Wie du eine Funktion auf Umkehrbarkeit prüfst - Abbildung 2

Im vorliegenden Fall kannst du anhand der Abbildung aus der Aufgabenstellung erkennen, warum der Graph jede Gerade nur einmal schneiden kann: Er steigt nämlich streng monoton. Nimmt also die Funktion an einer Stelle \(x_0\) den Wert \(y\) an, so sind die Wert für \(x<x_0\) stets kleiner und für \(x>x_0\) stets größer als \(y\), das heißt, es wird an keiner anderen Stelle wieder der Wert \(y\) angenommen.

Dies ist ein ganz typischer Fall. Wenn eine Funktion auf Umkehrbarkeit zu prüfen ist, läuft es so gut wie immer darauf hinaus, strenge Monotonie nachzuweisen.

Schritt 2: Bedingung prüfen

Es genügt also, anhand des Funktionsterms zu beweisen, dass \(f\) streng monoton wachsend ist. Dazu brauchst du die 1. Ableitung (die du mit der Quotientenregel berechnest).

\(f(x)=\frac{2e^x}{e^x+9}\)

\(\begin{align*}\Longrightarrow f'(x)&=\frac{(e^x+9)\cdot(2e^x)'-(e^x+9)'\cdot 2e^x}{(e^x+9)^2}\\ &=\frac{(e^x+9)\cdot 2e^x-e^x\cdot 2e^x}{(e^x+9)^2}\\ &=2e^x\cdot\frac{e^x+9-e^x}{(e^x+9)^2}\\ &=2e^x\cdot\frac{9}{(e^x+9)^2} \end{align*}\)

Wenn für alle \(x\in\mathbb{R}\) \(f'(x)>0\) ist, dann wächst \(f\) streng monoton und genau das wollen wir zeigen.

Für alle \(x\in\mathbb{R}\) ist \(e^x>0\), also ist der erste Faktor im Produkt \(f'(x)=2e^x\cdot\frac{9}{(e^x+9)^2}\) stets positiv. Der Nenner ist das Quadrat einer positiven Zahl, also auch positiv, ebenso wie der Zähler. Somit ist \(f'(x)\) immer positiv, also \(f\) streng monoton wachsend.

Also ist \(f\) umkehrbar.

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