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Wie du den Abstand einer Geraden zu einer Ebene berechnest


Aufgabe

Gegeben ist die Ebene \(E:3x_2+x_3=8\).

Bestimme den Abstand von \(E\) zur \(x_1\)-Achse.

Schritt 1: Hessesche Normalform der Ebene bestimmen

Für Abstandsberechnungen mit Ebenen ist die hessesche Normalform am besten geeignet. Aus der gegebenen Koordinatenform berechnest du die hessesche Normalform in zwei kurzen Teilschritten.

Normalenvektor der Ebene aus Koordinatengleichung ablesen

Die Koeffizienten vor den Variablen in der Koordinatengleichung bilden zusammen einen Normalenvektor der Ebene \(E\)\(x_1\) kommt in der Gleichung gar nicht vor, also ist der zugehörige Koeffizient null; der \(x_2\)-Koeffizient ist 3 und der \(x_3\)-Koeffizient ist 1. Somit ist

\(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}\)

ein Normalenvektor von \(E\).

Koordinatengleichung durch den Betrag des Normalenvektors teilen

Bringe zuerst die Konstante 8 auf die linke Seite der Koordinatengleichung, damit rechts null steht.

\(E:3x_2+x_3-8=0\)

Jetzt musst du diese Koordinatengleichung durch den Betrag des Normalenvektors \(\vec{n}\) teilen. Dieser ist:

\(\left|\vec{n}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+3^2+1^2}=\sqrt{10}\)

Die Ebenengleichung in hessescher Normalform lautet somit:

\(E:\frac{3x_2+x_3-8}{\sqrt{10}}=0\)

Schritt 2: Abstand eines Punktes der Geraden zur Ebene berechnen

Da die \(x_1\)-Koordinate in der Ebenengleichung von E nicht auftaucht, verläuft E parallel zur \(x_1\)-Achse, das heißt, alle Punkte auf dieser Achse haben denselben Abstand zu E. Der Punkt auf der \(x_1\)-Achse mit den einfachsten Koordinaten ist der Ursprung O(0|0|0).

Um den Abstand von O zu E zu berechnen, setzt du die Koordinaten von O in die linke Seite der hesseschen Normalform der Ebene ein und nimmst dann den Betrag.

\(x_1=0\), \(x_2=0\) und \(x_3=0\) in \(\frac{3x_2+x_3-8}{\sqrt{10}}\) eingesetzt liefert:

\(\frac{3\cdot 0+0-8}{\sqrt{10}}=-\frac{8}{\sqrt{10}}\approx -2,53\)

Der Betrag davon ist \( |-2,53|=2,53\).

Der Abstand von E zur \(x_1\)-Achse beträgt also etwa 2,53 Längeneinheiten.
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