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Lexikon Mathe

Additionsverfahren

Das Additionsverfahren ist eine der Standardmethoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS). Es hat seinen Namen daher, dass Gleichungen so addiert werden, dass mindestens eine Variable sich „heraushebt“, also in der addierten Gleichung nicht mehr auftaucht. Führt man das bei n Gleichungen (n – 1)-mal durch, erhält man eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die unmittelbar gelöst werden kann. Rückeinsetzen ergibt dann Schritt für Schritt die Lösungen für die übrigen Variablen.

Das Additionsverfahren ist ein wichtiger Bestandteil des Gauß’schen Eliminationsverfahrens.

Damit bei der Addition von zwei Gleichungen eines LGS eine Variable eliminiert wird, muss man die Gleichungen so mit konstanten Faktoren multiplizieren, dass eine Variable in beiden entstehenden Gleichungen den gleichen Koeffizienten, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen hat. Dann addiert man jeweils die linken und die rechten Seiten der entstandenen Gleichungen, wobei diese Variable herausfällt, und setzt die Ergebnisse gleich.

Beispiel:

\(\begin{matrix} &(\text I)& x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 1 \\ &(\text{II})& 2 x_1 &-& x_2 &-& 3 x_3 &=& - 2 \\ &(\text{III})& 3 x_1 &+& 2 x_2 &-& 2 x_3 &=& - 5 \end{matrix}\)
 

\(\begin{matrix} &(\text{I})& x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 1 \\ &(\text{II}^*\!) = (\text{II}) + (\text I)& 3 x_1 && &-& 2 x_3 &=& - 1 \\ &(\text{III}^*\!) =(\text{III}) - 2 \cdot (\text I)& x_1 & & &-&4x_3 &=& - 7 \end{matrix}\)
 

\(\begin{matrix} &(\text{I})& x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 1 \\ &(\text{II}^*\!) = (\text{II}) + (\text I)& 3 x_1 && &-& 2 x_3 &=& - 1 \\ &(\text{III}^{**}\!) =(\text{III}^*) + 2 \cdot (\text{II}^*)& -5x_1 & & && &=& - 5 \end{matrix}\)

Aus (III**) liest man direkt x1 = 1 ab, durch Einsetzen in (II*) erhält man x3 = 2 und aus (I) dann x2 = –2.

\(L= \{(1|-\!2|2)\}\)

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