Geben Sie jeweils den Term einer in (mathbb{R}) definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.
Der Graph der Funktion (g) geht aus dem Graphen der in (mathbb{R}) definierten Funktion (xlongmapstosin x) durch Spiegelung an der (y)-Achse hervor.
Die Funktion (h) hat den Wertebereich ([1;3]).
Die Funktion (k) besitzt die Periode (π).
Aufgabe 2
Dauer:15 Minuten5 Punkte
Gegeben ist die in (mathbb{R}) definierte Funktion (f) mit (f(x)=e^x⋅(2x+x^2)).
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion (f).
Zeigen Sie, dass die in (mathbb{R}) definierte Funktion mit (F(x)=x^2⋅e^x) eine Stammfunktion von (f) ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion (G) von (f) an, für die (G(1) = 2e) gilt.
Aufgabe 3
Dauer:5 Minuten2 Punkte
Der Graph einer in (mathbb{R}) definierten Funktion (g: x⟼g(x)) besitzt für (-5≤x≤5 ) zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I, II und III zur zweiten Ableitungsfunktion (g^") von (g) gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Aufgabe 4
Dauer:5 Minuten2 Punkte
In einem Koordinatensystem werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:
Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.
Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen (G_f) der Funktion (f: xlongmapsto-ln x) mit (0 < x < 1) .
Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.
Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.
Aufgabe 5
Dauer:15 Minuten5 Punkte
Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion (f).
Beschreiben Sie für (a≤x≤b) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von (f).
Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion von (f) im gesamten dargestellten Bereich.