• Aufgabe 1

    9 Minuten 3 Punkte

    Geben Sie jeweils den Term einer in (mathbb{R}) definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.

    1. Der Graph der Funktion (g) geht aus dem Graphen der in (mathbb{R}) definierten Funktion (xlongmapstosin x) durch Spiegelung an der (y)-Achse hervor.
    2. Die Funktion (h) hat den Wertebereich ([1;3]).
    3. Die Funktion (k) besitzt die Periode (π).

  • Aufgabe 2

    15 Minuten 5 Punkte

    Gegeben ist die in (mathbb{R}) definierte Funktion (f) mit (f(x)=e^x⋅(2x+x^2)).

    1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion (f).
    2. Zeigen Sie, dass die in (mathbb{R}) definierte Funktion mit (F(x)=x^2⋅e^x) eine Stammfunktion von (f) ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion (G) von (f) an, für die (G(1) = 2e) gilt.

  • Aufgabe 3

    5 Minuten 2 Punkte

    Der Graph einer in (mathbb{R}) definierten Funktion (g: x⟼g(x)) besitzt für (-5≤x≤5 ) zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I, II und III zur zweiten Ableitungsfunktion (g^") von (g) gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

     

  • Aufgabe 4

    5 Minuten 2 Punkte

    In einem Koordinatensystem werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:

    • Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.
    • Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen (G_f) der Funktion (f: xlongmapsto-ln x) mit (0 < x < 1) .

    Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.

     

    Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.

  • Aufgabe 5

    15 Minuten 5 Punkte

    Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion (f).

     


    1. Beschreiben Sie für (a≤x≤b) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von (f).
    2. Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion von (f) im gesamten dargestellten Bereich.
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