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Originalprüfung EA 3


Analysis

HT1

Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für \(0\le t \le 3\) die Funktion \(N_1\) mit der Gleichung:
\(N_1(t)=500\cdot \text{e}^{0,6t},\;t\in\mathbb{R}\)

Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und \(N_1(t)\) als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt \(t\) aufgefasst. Der Graph von \(N_1\) ist in der folgenden Abbildung dargestellt. 

Originalprüfung EA 3 - Abbildung 1
 

Aufgabe a)

  1. Berechnen Sie den Funktionswert von \(N_1\) an der Stelle \(t=3\) und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.
  2. Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem 2000 Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind.
  3. Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung.
    [Zur Kontrolle: Die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösungwährend des ersten halben Tages der Beobachtung beträgt ungefähr 583.] 
  4. Der Schüler berechnet einen Näherungswert für die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages, indem er das arithmetische Mittel der Funktionswerte \(N_1(0)\) und \(N_1(0,5)\) bildet.
    Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel der Funktionswerte \(N_1(0)\) und \(N_1(0,5)\) um weniger als 1 % von dem in (3) berechneten Durchschnitt abweicht. 
  5. Weisen Sie nach, dass die prozentuale Abweichung des arithmetischen Mittels der Funktionswerte \(N_1(a)\) und \(N_1(a+0,5)\) von der durchschnittlichen Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in einem Zeitintervall \([a; a+0,5]\) mit \(0\le a \le 2,5\) unabhängig von \(a\) weniger als 1 % beträgt.

(2 + 3 + 5 + 4 + 7 Punkte)

Aufgabe b)

Während der ersten drei Tage (für \(0\le t\le 3\)) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion \(r_1\) mit der Gleichung
\(r_1(t)=300\cdot\text{e}^{0,6t},\;t\in\mathbb{R}\)
beschrieben. Dabei wird \(r_1(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst.

  1. Für die Funktion \(r_1\) und die zugehörige Ableitungsfunktion \(r'_1\) gilt für alle \(t\in\mathbb{R}\) die Aussage:
    \(r_1(t)>0\) und \(r'_1(t)>0\)
    [Die Gültigkeit dieser Aussage müssen Sie nicht nachweisen.]
    Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.
  2. Ermitteln Sie die größte momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in den ersten drei Tagen. 

(5 + 4 Punkte)

Aufgabe b)

Während der ersten drei Tage (für \(0\le t\le 3\)) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion \(r_1\) mit der Gleichung
\(r_1(t)=300\cdot\text{e}^{0,6t},\;t\in\mathbb{R}\)
beschrieben. Dabei wird \(r_1(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst.

  1. Für die Funktion \(r_1\) und die zugehörige Ableitungsfunktion \(r'_1\) gilt für alle \(t\in\mathbb{R}\) die Aussage:
    \(r_1(t)>0\) und \(r'_1(t)>0\)
    [Die Gültigkeit dieser Aussage müssen Sie nicht nachweisen.]
    Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.
  2. Ermitteln Sie die größte momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in den ersten drei Tagen. 

(5 + 4 Punkte)

HT2

Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt.

Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung
\(f(t)=t^4-24t^3+144t^2+400,\;t\in\mathbb{R}\)
und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die Funktion \(g\) mit der Gleichung
\(g(t)=-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2053,\;t\in\mathbb{R}\)
modelliert, und zwar für das Zeitintervall \([0;12]\), das dem Kalenderjahr entspricht.
Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Monat und \(f(t)\) sowie \(g(t)\) als Maßzahlen zur Einheit 1 Kilowattstunde pro Monat [kWh/Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder Monat 30 Tage.) Der Zeitpunkt \(t=0\) entspricht dem Beginn des Kalenderjahres.

Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Originalprüfung EA 3 - Abbildung 2
 

Aufgabe a)

  1. Vergleichen Sie die Graphen von \(f\) und \(g\) im Sachzusammenhang.
  2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und berechnen Sie den Maximalwert. 
  3. Ermitteln Sie den Zeitpunkt im Intervall \([0;12]\), zu dem der durch \(g\) beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb dieses Kalenderjahres am stärksten abnimmt.

(5 + 8 + 9 Punkte)

Durch das Integral \(\int\limits_a^b f(t) \text{d}t\) ist im Sachzusammenhang die aus der Solaranlage im Zeitintervall \(\bf[a; b]\) abrufbare Energie und durch das Integral \(\int\limits_a^b g(t) \text{d}t\) der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall \(\bf[a; b]\) für \(0\le a<b\le 12\) in Kilowattstunden [kWh] gegeben.

Aufgabe b)

  1. Berechnen Sie den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.
  2. Im Intervall \([3; 9,5\)] wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden.
    Ermitteln Sie die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall \([3;9,5]\) zur Verfügung steht.

(4 + 6 Punkte)

Aufgabe c)

Die Leistung der Solaranlage ist abhängig von der Neigung der aufgestellten Solarmodule.

Originalprüfung EA 3 - Abbildung 3
Die Funktion \(f_a\) mit der Gleichung
\(f_a(t)=a\cdot(t^4-24t^3+144t^2+400)-400\cdot(a^2-1),\;t\in\mathbb{R},\;0,5\le a\le 1,5\)
modelliert im Intervall \([0;12]\) diese Leistung für ein Kalenderjahr, wobei der Parameter \(a\) eine Kennzahl für die Neigung der Solarmodule ist. Jedem Wert des Parameters \(a\) kann über die Gleichung \(w=116-66a\) die Maßzahl für den entsprechenden Neigungswinkel in Grad zugeordnet werden.
In der folgenden Abbildung sind beispielhaft für zwei Werte von \(a\) die Graphen der jeweils zugehörigen Funktion \(f_a\) sowie der Graph von \(g\) dargestellt.

Originalprüfung EA 3 - Abbildung 4
  1. Zeigen Sie, dass \(f\) eine der Funktionen \(f_a\) ist, und berechnen Sie den zugehörigen Neigungswinkel \(w\) der Solarmodule.
  2. Weisen Sie nach, dass die in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie für \(a=1,364\) (d. h. \(w\approx26^°\)) am größten ist.
  3. Der Solaranlagenhersteller behauptet, dass eine Solaranlage mit einem Neigungswinkel von 50° den Energiebedarf der Familie (ohne Heizung des Gartenpools!) in dem Kalenderjahr besser deckt als eine Solaranlage mit einem Neigungswinkel von 26°.
    Begründen Sie diese Behauptung anhand der Graphen in der obigen Abbildung.
    [Eine Rechnung wird hier nicht verlangt.]

(4 + 9 + 5 Punkte)

HT3

Für jede positive reelle Zahl \(a\) sind eine Funktion \(f_a\) mit der Gleichung 
\(f_a(x)=\left(x^2+ax+1\right)\cdot\text{e}^{x},\;x\in\mathbb{R}\)
und eine Funktion \(p_a\) mit der Gleichung
\(p_a(x)=x^2+(a+2)\cdot x+a+1,\;x\in\mathbb{R}\)
gegeben. Die Graphen von \(f_{2,5}\) und \(p_{2,5}\) sind in der Abbildung unten dargestellt.

Originalprüfung EA 3 - Abbildung 5
Es sei nun \(a\) eine beliebige positive reelle Zahl.

Aufgabe a)

  1. Ermitteln Sie das Intervall auf der \(x\)-Achse, für das der Graph der Funktion \(p_a\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.
    [Zur Kontrolle: Das gesuchte Intervall ist \(]−1 − a;−1[\).]
  2. Zeigen Sie: Es gilt \(f_a'(x)=p_a(x)\cdot \text{e}^x\) für alle \(x\in\mathbb{R}\).
  3. Bestimmen Sie die Stellen, an denen die Funktion \(f_a\) ein lokales Maximum bzw. Minimum besitzt.

(5 + 5 + 6 Punkte)

Aufgbe b)

  1. Bestimmen Sie dasjenige \(a>0\), für das die Funktion \(f_a\) genau eine Nullstelle hat.
  2. Berechnen Sie die zugehörige Nullstelle.

(5 + 3 Punkte)

Aufgabe c)

Betrachten Sie nun die Funktion \(k\) mit der Gleichung \(k(x)=\text{e}^x,\;x\in\mathbb{R}\), und die Funktion \(h_a\) mit der Gleichung \(h_a(x)=f_a(x)-k(x)=(x^2+ax)\cdot\text{e}^x,\;x\in\mathbb{R}.\)

  1. Ermitteln Sie mithilfe eines Integrationsverfahrens eine Stammfunktion der Funktion \(h_a\).
    [Zur Kontrolle: Zum Beispiel ist die Funktion \(H_a\) mit der Gleichung \(H_a(x)=(x^2+(a-2)x+2-a)\cdot\text{e}^x\) eine Stammfunktion von \(h_a\).]
  2. Berechnen Sie in Abhängigkeit von \(a\) den Inhalt \(A(a)\) der Fläche, die von den Graphen der Funktionen \(f_a\) und \(k\) eingeschlossen wird.
    [Zur Kontrolle: \(A(a)=|2-a-(a+2)\cdot\text{e}^{-a}\)]

(6 + 6 Punkte)

Aufgabe d)

Für \(a=2,5\) erhält man die Funktion \(f_{2,5}\) mit der Gleichung \(f_{2,5}(x)=(x^2+2,5x+1)\cdot\text{e}^x,\;x\in\mathbb{R}.\)

  1. Ermitteln Sie mithilfe von c) 1. eine Stammfunktion der Funktion \(f_{2,5}\).
    [Zur Kontrolle: Zum Beispiel ist die Funktion \(F_{2,5}\) mit der Gleichung \(F_{2,5}(x)=(x^2+0,5x+0,5)\cdot\text{e}^x\) eine Stammfunktion von \(f_{2,5}\).]
  2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion \(f_{2,5}\) und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird.
    [Zur Kontrolle: Der gesuchte Flächeninhalt beträgt ungefähr 0,17 [FE].]
  3. In der Abbildung unten ist die Fläche schraffiert, die von den Graphen der Funktionen \(f_{2,5}\) und \(k\) eingeschlossen wird. Die \(x\)-Achse teilt diese Fläche.
    Berechnen Sie das Verhältnis der größeren zur kleineren Teilfläche.
    Originalprüfung EA 3 - Abbildung 6

(4 + 6 + 4 Punkte)

Analytische Geometrie

HT5

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(O(0|0|0)\)\(A(6|8|0)\)\(B(-2|14|0)\)\(C(-8|6|0)\) und \(S(-1|7|10)\) Eckpunkte der Pyramide \(OABCS\), deren Grundfläche das Viereck \(OABC \) ist (siehe Abbildung unten).

Originalprüfung EA 3 - Abbildung 7
Im Folgenden darf verwendet werden, dass die Seitendreiecke der Pyramide zueinander kongruent sind.

Aufgabe a)

  1. Zeigen Sie, dass das Viereck \(OABC\) ein Quadrat ist.
  2. Berechnen Sie die Oberfläche der Pyramide \(OABCS\).

(5 + 5 Punkte)

Aufgabe b)

  1. Leiten Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\) her, die durch die Punkte \(B\)\(C\) und \(Q(3|4|10)\) festgelegt ist.
    Diese Ebene gehört zu der durch \(E_a:\;-4a\cdot x_1+3a\cdot x_2+25\cdot x_3=50a,\;a\in\mathbb{R}\), gegebenen Ebenenschar. [Zur Kontrolle: \(E=E_5\)]
  2. Zeigen Sie, dass die Punkte \(B\) und \(C\) in jeder Ebene \(E_a\) liegen.
  3. Nennen Sie ohne Nachweis die verschiedenen Arten von Schnittgebilden, die beim Schnitt einer der Ebenen \(E_a\) mit der Pyramide \(OABCS\) entstehen können.
  4. Für genau einen Wert von \(a\) ist das Schnittgebilde von Ebene und Pyramide ein Dreieck.
    Bestimmen Sie den entsprechenden Wert von \(a\).
  5. Die Ebene \(E\) zerlegt die Pyramide \(OABCS\) in zwei Teilkörper. Sie können ohne Nachweis verwenden, dass das Schnittgebilde den Flächeninhalt \(\frac{400}{9}\sqrt{2} \) [FE] besitzt.
    Bestimmen Sie ein Verhältnis der Rauminhalte der beiden Teilkörper.

(5 + 3 + 4 + 3 + 8 Punkte)

Aufgabe c)

Auf der Geraden \(AS\) gibt es genau einen Punkt \(P\), sodass die Strecken \(\overline{OP}\) und \(\overline{BP}\) senkrecht zu \(AS\) sind.

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(P\).
    [Zur Kontrolle: \(P=\left(\frac{11}{3}\left|\frac{23}{3}\right|\frac{10}{3}\right)\)]
  2. Begründen Sie, dass der Streckenzug \(\overline{OPB}\) ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide (Mantel: Oberfläche ohne Grundfläche) ist, und berechnen Sie die Länge des Streckenzuges.
  3. Es gibt einen weiteren Streckenzug \(\overline{ONB}\;(N\neq P)\), der ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide ist.
    Begründen Sie diese Aussage und bestimmen Sie die Koordinaten von \(N\).

(6 + 5 + 6 Punkte)

Stochastik

HT5

Im Folgenden betrachten wir die Entwicklung von Wolfspopulationen. Dabei beschränken wir uns ausschließlich auf die weiblichen Mitglieder einer Population, die aus Welpen (\(w\)), jungen Fähen (\(j\)) sowie ausgewachsenen Fähen (\(a\)) bestehen soll. Alle Fähen sind vermehrungsfähig. Die Welpen entwickeln sich ein Jahr nach der Geburt zu jungen Fähen und ein Jahr später zu ausgewachsenen Fähen. Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung einer in der Wildnis lebenden Population für die Jahre 2013 und 2014:

  2013 2014
\(w\) 65 52
\(j\) 8 26
\(a\) 20 16

Modellhaft lässt sich die Entwicklung mit der Matrix \(A\) beschreiben.

\(\begin{matrix} & \text{von:} &w\quad\; j\qquad a\; \\ \text{nach:} & & \\ \begin{array}{c}w\\j\\b\end{array} & A= & \left(\begin{matrix} 0 & 1,5 & 2 \\ b & 0 &0 \\ 0 & 0,5 & 0,6 \end{matrix}\right) \end{matrix} \)

Aufgabe a)

  1. Begründen Sie mit den Daten aus der Tabelle, dass \(b=0,4\) gilt.
  2. Interpretieren Sie die weiteren von Null verschiedenen Einträge in der Matrix \(A\) im Sachzusammenhang.

(3 + 4 Punkte)

Aufgabe b)

  1. Berechnen Sie die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2015 zu erwarten ist.
  2. Bestimmen Sie die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2012 vorgelegen hätte.
  3. Ein Biologe behauptet, dass weniger als 15 % aller Welpen mindestens ein Alter von drei Jahren erreichen.
    Prüfen Sie, ob nach der obigen Modellierung mit der Matrix \(A\) die Behauptung des Biologen zutrifft.

(3 + 5 + 4 Punkte)

Aufgabe c)

Wölfe, die in einem Tierpark leben, haben andere Überlebens- und Fortpflanzungsraten. Für einen Tierpark kann die Entwicklung seiner Wolfspopulation durch die folgende Matrix \(B\) modelliert werden.

\(B=\left(\begin{matrix} 0 & 1 & d \\ 0,8 & 0 & 0 \\ 0 & 0,75 & 0,7 \\ \end{matrix}\right)\)

  1. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Einträge in der zweiten Spalte der Matrix \(B\) im Vergleich zu den Einträgen in der zweiten Spalte der Matrix \(A\).
  2. Wegen der räumlichen Beschränkung will die Tierparkleitung die Gesamtzahl der Wölfe konstant halten. Das soll durch eine strikte Geburtenkontrolle gewährleistet werden.
    Zeigen Sie, dass nur für den Wert \(d=0,1\) eine von \(\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\) verschiedene stationäre Verteilung existiert, d. h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.
  3. Ermitteln Sie für den Wert \(d=0,1\) die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung \(\vec{n}=\left(\begin{array}{c}n_1\\n_2\\n_3\end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\) mit natürlichen Zahlen \(n_1\)\(n_2\) und \(n_3\).

(2 + 7 + 4 Punkte)

Aufgabe d)

Für die Population in dem obigen Tierpark wird eine neue Modellierung gewählt: Die Entwicklungsstufe der Welpen wird mit der Überlebensrate von 80 % beibehalten, die Entwicklungsstufen der jungen Fähen und ausgewachsenen Fähen werden zu einer Stufe zusammengefasst. Die neue Modellierung soll durch die Matrix
\(C=\left(\begin{matrix} 0 & g \\ 0,8 & h \end{matrix}\right)\)
mit \(g>0\) und \(0\le h <1\) dargestellt werden. Die Population der Welpen und Fähen soll mit insgesamt 19 Tieren konstant bleiben.

  1. Zeigen Sie, dass in dem neuen Modell eine stationäre Verteilung mit mehr als 10 Welpen nicht vorkommen kann.
  2. Ermitteln Sie die Einträge \(g\) und \(h\) in der Matrix \(C\) so, dass sich eine stationäre Verteilung mit 5 Welpen und 14 Fähen ergibt.
     
  3. Mit den Werten aus 2. ist \(C=\left(\begin{matrix} 0 & \frac{5}{14} \\ 0,8 & \frac{5}{7} \end{matrix}\right)\). Ein Taschenrechner liefert z. B.:
    \(C^{17}=\left(\begin{matrix} 0,2222222218 & 0,27777777779 \\ 0,6222222226 & 0,77777777777 \end{matrix}\right)\)
    Die Potenzen \(C^n\) der Matrix \(C\) streben mit wachsendem \(n\) gegen eine Matrix \(G\).
    Ermitteln Sie die exakten Werte der Einträge von \(G\) aus den Ansätzen:
    \(G\cdot C=G\) und \(G\cdot \left(\begin{array}{c}5\\14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\14\end{array}\right)\)

(8 + 3 + 7 Punkte)

HT6

Eine Firma stellt mit zwei verschiedenen Maschinen \(A\) und \(B\) Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als „1. Wahl“ gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als „2. Wahl“ bezeichnet. Eine Fliese, die mit Maschine \(A\) produziert wurde, ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 „1. Wahl“ (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit von 0,1 „2. Wahl“). Maschine \(B\) produziert lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 „1. Wahl“-Fliesen. Dabei kann für beide Maschinen davon ausgegangen werden, dass die Produktion von Fliesen 1. und 2. Wahl jeweils stochastisch unabhängig erfolgt. Fliesen, die von Maschine \(A\) produziert wurden, werden im Folgenden als \(A\)-Fliesen bezeichnet, Fliesen von Maschine \(B\) als \(B\)-Fliesen. Jede Packung enthält 20 Fliesen, die von derselben Maschine stammen.

Aufgabe a)

  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung \(A\)-Fliesen genau zwei „2. Wahl“-Fliesen enthalten sind.
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung \(A\)-Fliesen maximal 80 % der Fliesen die Qualität „1. Wahl“ haben.
  3. Die 20 Fliesen einer Packung \(B\)-Fliesen wurden in 4 Reihen mit jeweils 5 Fliesen verlegt.
    1. ​Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(\tilde{p}\) dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe nur „1. Wahl“-Fliesen enthält.
      [Kontrollergebnis: \(\tilde{p}=0,32768\)]
    2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält.

(2 + 3 + 2 + 4 Punkte)

Aufgabe b)

An Großabnehmer verkauft die Firma auch Paletten, die jeweils 500 Packungen Fliesen von derselben Maschine enthalten. Ein Bauunternehmer bestellt eine Palette mit \(A\)-Fliesen. Da die Packungen bei der Lieferung nicht gekennzeichnet sind, befürchtet er, versehentlich eine Palette mit \(B\)-Fliesen erhalten zu haben. Er beschließt, für einen Test der Lieferung zufällig 100 Fliesen zu entnehmen und die Anzahl \(X\) der „2. Wahl“-Fliesen in dieser Stichprobe zu bestimmen.

  1. Begründen Sie, dass \(X\) als binomialverteilte Zufallsgröße aufgefasst werden kann, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit bei \(A\)-Fliesen \(p = 0,1\) und bei \(B\)-Fliesen \(p = 0,2\) beträgt.
  2. Es wird ein Hypothesentest mit der Nullhypothese \(H_0:\;p\ge 0,2\) durchgeführt. Wird \(H_0\) verworfen, wird die Palette angenommen, sonst wird sie zurückgeschickt.
    Erklären Sie die Wahl der Nullhypothese.
  3. Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel (auf Basis der genannten Nullhypothese) für die oben genannte Stichprobe von 100 Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit (d. h. Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art) von höchstens 5 %.
    [Zur Kontrolle: \(H_0\) wird für \(X\le 13\) abgelehnt.]
  4. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(p_A\), dass die Hypothese \(H_0\) aufgrund der Entscheidungsregel aus 3. irrtümlich nicht abgelehnt wird, obwohl die Palette tatsächlich \(A\)-Fliesen enthält, also \(p = 0,1\) gilt.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(p_B\), dass die Hypothese \(H_0\) irrtümlich abgelehnt wird, obwohl die Palette tatsächlich \(B\)-Fliesen enthält, also \(p = 0,2\) gilt.
    [Zur Kontrolle: \(p_A\approx 0,1239; \; p_B\approx 0,0469\)]
  5. Im Lager des Herstellers befanden sich 7 Paletten mit \(A\)-Fliesen und 3 Paletten mit \(B\)-Fliesen, aus denen die angelieferte Palette zufällig ausgewählt wurde.
    Bestimmen Sie mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten \(p_A\) und \(p_B\) die gesamte Irrtumswahrscheinlichkeit für den Test.

(3 + 4 + 5 + 6 + 4 Punkte)

Aufgabe c)

Für besonders anspruchsvolle Kunden soll eine Sorte „Premium“ angeboten werden, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht. Dazu will die Firma die „2. Wahl“-Fliesen aus der Produktion der Maschine \(\bf A\) aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer optimal funktioniert. Das Testgerät erkennt eine „2. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von \(w=0,8\) („Aussortierwahrscheinlichkeit“) und sortiert sie aus. Andererseits wird eine „1. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 zu Unrecht als „2. Wahl“ aussortiert.

  1. Stellen Sie die Situation grafisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten). 
    Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als „1. Wahl“ einstuft (also nicht aussortiert).
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine „2. Wahl“-Fliese ist.
  3. Bestimmen Sie, wie groß die „Aussortierwahrscheinlichkeit“ \(w\) des Testgeräts mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit aus 2. (und damit der erwartete Anteil der „2. Wahl“-Fliesen nach dem Aussortieren) durch die Prüfung auf unter 1 % gesenkt wird.

(7 + 4 + 6 Punkte)

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