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Originalprüfung 2015 Stochastik GK HT4


Aufgabenstellung

Im Folgenden betrachten wir die Entwicklung von Wolfspopulationen. Dabei beschränken wir uns ausschließlich auf die weiblichen Mitglieder einer Population, die aus Welpen (\(w\)), jungen Fähen (\(j\)) sowie ausgewachsenen Fähen (\(a\)) bestehen soll. Alle Fähen sind vermehrungsfähig. Die Welpen entwickeln sich ein Jahr nach der Geburt zu jungen Fähen und ein Jahr später zu ausgewachsenen Fähen. Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung einer in der Wildnis lebenden Population für die Jahre 2013 und 2014.

  \(2013\) \(2014\)
\(w\) \(65\) \(52\)
\(j\) \(8\) \(26\)
\(a\) \(20\) \(16\)

Modellhaft lässt sich die Entwicklung mit der Matrix \(A\) beschreiben.

\(\begin{array}\\ &\text{von:}&\quad \quad \quad w\ \ \ \quad j\ \ \quad a\\ \text{nach:}&\\ \begin{array}\\ w\\j\\a \end{array}&&A=\begin{pmatrix}0&1,5&2\\b&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix} \end{array}\)

Aufgabe a)

(1) 

Begründen Sie mit den Daten aus der Tabelle, dass \(b=0,4\) gilt.

(2) 

Interpretieren Sie die weiteren von Null verschiedenen Einträge in der Matrix \(A\) im Sachzusammenhang.

(3 + 4 Punkte)

  • Punkte:  7

Aufgabe b)

(1) 

Berechnen Sie die Verteilungen, die nach diesem Modell in den Jahren \(2015\) und \(2016\) zu erwarten sind.

(2) 

Bestimmen Sie die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr \(2012\) vorgelegen hätte.

(3) 

Zeigen Sie, dass sich in diesem Modell die Population aus \(2011\) nicht bestimmen lässt.

(4) 

Ein Biologe behauptet, dass weniger als \(15\ \%\) aller Welpen mindestens ein Alter von drei Jahren erreichen.
Prüfen Sie, ob nach der obigen Modellierung mit der Matrix \(A\) die Behauptung des Biologen zutrifft.

(4 + 5 + 3 + 4 Punkte)

  • Punkte:  16

Aufgabe c)

Wölfe, die in einem Tierpark leben, haben andere Überlebens- und Fortpflanzungsraten. Für einen Tierpark kann die Entwicklung seiner Wolfspopulation durch die folgende Matrix \(B\) modelliert werden.

\(B=\begin{pmatrix}0&1&0,1\\0,8&0&0\\0&0,75&0,7\end{pmatrix}\)

(1) 

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Einträge in der zweiten Spalte der Matrix \(B\) im Vergleich zu den Einträgen in der zweiten Spalte der Matrix \(A\).

(2) 

Wegen der räumlichen Beschränkung will die Tierparkleitung die Gesamtzahl der Wölfe konstant halten. Das soll durch eine strikte Geburtenkontrolle gewährleistet werden. Zeigen Sie, dass eine von \(\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\) verschiedene stationäre Verteilung existiert, d. h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.

(3) 

Ermitteln Sie die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung \(\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\) \(n_1, n_2\) und \(n_3\).

(2 + 7 + 4 Punkte)

  • Punkte:  13

Aufgabe d)

Für die Population in dem obigen Tierpark wird eine neue Modellierung gewählt: Die Entwicklungsstufe der Welpen wird mit der Überlebensrate von \(80\ \%\) beibehalten, die Entwicklungsstufen der jungen Fähen und ausgewachsenen Fähen werden zu einer Stufe zusammengefasst. Die neue Modellierung soll durch die Matrix
\(C=\begin{pmatrix}0&g\\0,8&h\end{pmatrix}\)
mit \(0 > g\) und \(0\leq h<1\) dargestellt werden. Die Population der Welpen und Fähen soll mit insgesamt \(19\) Tieren konstant bleiben.

(1) 

Zeigen Sie, dass in dem neuen Modell eine stationäre Verteilung mit 11 Welpen nicht vorkommen kann.

(2) 

Zeigen Sie, dass sich für \(g=\frac 5{14}\) und \(h=\frac 5{7}\) eine stationäre Verteilung mit \(5\) Welpen und \(14\) Fähen ergibt.

(3) 

Mit den Werten aus (2) ist \(C=\begin{pmatrix}0&\frac5{14}\\0,8&\frac5 7\end{pmatrix}\). Ein Taschenrechner liefert z. B.:

\(C^{17}=\begin{pmatrix}0,2222222218&0,2777777779\\0,6222222226&0,7777777777\end{pmatrix}\)

Die Potenzen \(C^n\) der Matrix \(C\) streben mit wachsendem \(n\) gegen die Matrix \(G=\begin{pmatrix}\frac2{9}&\frac5{18}\\\frac{28}{45}&\frac7 9\end{pmatrix}\). Mithilfe der Matrix \(G\) lässt sich die langfristige Entwicklung einer Population ermitteln. Leider fallen in einem Jahr alle fünf Welpen der Population einer Infektionskrankheit zum Opfer. Daraufhin beschließt die Tierparkleitung die Anschaffung von vier zusätzlichen Fähen. Ermitteln Sie die langfristige Entwicklung der neuen Population.

(7 + 2 + 5 Punkte)

  • Punkte:  14
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