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Originalprüfung 2015 Pflichtteil GK


Aufgabe 1

Bilden Sie die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\left(4+\text{e}^{3x}\right)^5\).
(2 VP)

Aufgabe 2

Berechnen Sie das Integral \(\int\limits_0^\pi \left\{(4x+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right\}\text{d}x\).
(2 VP)

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung \((x^3-3x)\cdot(\text{e}^{2x}-5)=0\).
(3 VP)

Aufgabe 4

Der Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 2\) die Tangente mit der Gleichung \(y = 4x −12\).
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von \(f\).
(4 VP)

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer ganzrationalen Funktion \(f\). Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

  1. Der Graph von \(f\) hat bei \(x = -3\) einen Tiefpunkt.
  2. \(f(-2) < f(-1)\)
  3. \(f''(−2) + f'(−2) < 1\)
  4. Der Grad der Funktion \(f\) ist mindestens vier.

(5 VP)

Originalprüfung 2015 Pflichtteil GK - Abbildung 1

Aufgabe 6

Gegeben sind die drei Punkte \(A(4/0/4)\), \(B(0/4/4)\) und \(C(6/6/2)\).

  1. Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.
  2. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck \(ABC\) zu einem Parallelogramm ergänzt. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt.

(4 VP)

Aufgabe 7

Gegeben ist die Ebene \(E:\;4x_1 + 3x_3 = 12\).

  1. Stellen Sie \(E\) in einem Koordinatensystem dar.
  2. Bestimmen Sie alle Punkte der \(x_3\)-Achse, die von \(E\) den Abstand 3 haben.

(3 VP)

Aufgabe 8

Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden:

Rot: 20%   Grün: 30%   Blau: 50%
Das Glücksrad wird \(n\)-mal gedreht.
Die Zufallsvariable \(X\) gibt an, wie oft die Farbe Rot angezeigt wird.
  1. Begründen Sie, dass \(X\) binomialverteilt ist.
    Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\):
    \(k\) 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
    \(P (X=k)\) 0,01 0,06 0,14 0,21 0,22 0,17 0,11 0,05 ...
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird.
  3. Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von \(n\) der Tabelle zugrunde liegen kann: 
    20, 25 oder 30
    Begründen Sie Ihre Entscheidung.

(4VP)

Aufgabe 9

Mit \(V=\pi\cdot\int\limits_0^4\left(4-\frac{1}{2}x\right)^2\text{d}x\) wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet. 
Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper. 
(3 VP)

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