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Originalprüfung 2015 Geometrie GK HT3


Aufgabenstellung

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(O(0|0|0),\ A(9|12|0),\ B(-3|21|0),\ C(-12|9|0)\) und \(S(-1,5|10,5|15)\) Eckpunkte der Pyramide \(OABCS\), deren Grundfläche das Viereck \(OABC\) ist (siehe Abbildung).

Originalprüfung 2015 Geometrie GK HT3 - Abbildung 1

Im Folgenden darf verwendet werden, dass die Seitendreiecke der Pyramide zueinander kongruent sind.

Aufgabe a)

(1) 

Zeigen Sie, dass das Viereck \(OABC\) ein Quadrat ist.

(2) 

Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche der Pyramide \(OABCS\).

(6 + 8 Punkte)

  • Punkte:  14

Aufgabe b)

(1) 

Zeigen Sie, dass der Punkt \(R (5|15|0)\) auf der Strecke \(AB\) liegt.

(2) 

Zeigen Sie, dass die Strecke \(OR\) die Grundfläche der Pyramide im Verhältnis \(5:1\) bzw. \(1:5\) teilt.

(3) 

Leiten Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\) her, die durch die Punkte \(O\),  \(Q(1|1|2)\) und \(R\) festgelegt ist.
[Mögliches Ergebnis: \(E: 3x_1-x_2-x_3=0\)]

(3 + 5 + 7 Punkte)

  • Punkte:  15

Aufgabe c)

(1) 

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \(P\) der Geraden \(g\) durch \(S\) und \(A\) mit der Ebene \(E\) aus Aufgabe b) (3). [Zur Kontrolle: Der Schnittpunkt ist \(P(5,5|11,5|5)\).]

(2) 

Weisen Sie nach, dass die Strecken \(\overline {OP}\) und \(\overline{BP}\) senkrecht zur Geraden \(g\) verlaufen.

(3) 

Begründen Sie, dass der Streckenzug \(\overline{OPB}\) ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide (Mantel: Oberfläche ohne Grundfläche) ist, und berechnen Sie die Länge des Streckenzuges.

(4) 

Es gibt einen weiteren Streckenzug \(\overline{ONB}\) \((N\neq P)\), der ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide ist. Begründen Sie diese Aussage und beschreiben Sie die Lage des Punktes \(N\).

(6 + 4 + 6 + 5 Punkte)

  • Punkte:  21
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