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Originalprüfung 2015 Analysis HT1 LK


Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für \(0\le t \le 3\) die Funktion \(N_1\) mit der Gleichung:
\(N_1(t)=500\cdot \text{e}^{0,6t},\;t\in\mathbb{R}\)

Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und \(N_1(t)\) als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt \(t\) aufgefasst. Der Graph von \(N_1\) ist in der folgenden Abbildung dargestellt. 

Originalprüfung 2015 Analysis HT1 LK - Abbildung 1

Aufgabe a)

  1. Berechnen Sie den Funktionswert von \(N_1\) an der Stelle \(t=3\) und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.
  2. Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem 2000 Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind.
  3. Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung.
    [Zur Kontrolle: Die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung beträgt ungefähr 583.] 
  4. Der Schüler berechnet einen Näherungswert für die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages, indem er das arithmetische Mittel der Funktionswerte \(N_1(0)\) und \(N_1(0,5)\) bildet.
    Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel der Funktionswerte \(N_1(0)\) und \(N_1(0,5)\) um weniger als 1 % von dem in (3) berechneten Durchschnitt abweicht. 
  5. Weisen Sie nach, dass die prozentuale Abweichung des arithmetischen Mittels der Funktionswerte \(N_1(a)\) und \(N_1(a+0,5)\) von der durchschnittlichen Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in einem Zeitintervall \([a; a+0,5]\) mit \(0\le a \le 2,5\) unabhängig von \(a\) weniger als 1 % beträgt.

(2 + 3 + 5 + 4 + 7 Punkte)

Aufgabe b)

Während der ersten drei Tage (für \(0\le t\le 3\)) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion \(r_1\) mit der Gleichung
\(r_1(t)=300\cdot\text{e}^{0,6t},\;t\in\mathbb{R}\)
beschrieben. Dabei wird \(r_1(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst.

  1. Für die Funktion \(r_1\) und die zugehörige Ableitungsfunktion \(r'_1\) gilt für alle \(t\in\mathbb{R}\) die Aussage:
    \(r_1(t)>0\) und \(r'_1(t)>0\)
    [Die Gültigkeit dieser Aussage müssen Sie nicht nachweisen.]
    Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.
  2. Ermitteln Sie die größte momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in den ersten drei Tagen. 

(5 + 4 Punkte)

Aufgabe c)

Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Um die Entwicklung ab dem Zeitpunkt \(t=3\) zu prognostizieren, sucht er eine Funktion, für deren momentane Änderungsrate \(r_2\) zu jedem Zeitpunkt \(t=3+a\) mit \(0\le a \le 3\) die Gleichung \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\) gilt.

  1. Interpretieren Sie die Bedeutung der Gleichung \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\)\(0\le a \le 3\), im Sachzusammenhang.
  2. Leiten Sie aus der Gleichung \(r_1(t)=300\cdot\text{e}^{0,6t}\) für die momentane Änderungsrate \(r_1\) und der Gleichung
    \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\)\(0\le a \le 3\)
    die Gleichung 
    \(r_2(t)=300\cdot\text{e}^{3,6\ -\ 0,6t}\)\(3\le t \le 6\)
    zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag her.
  3. Ermitteln Sie ausgehend von den Funktionen \(N_1\) und \(r_2\) eine Gleichung der Funktion \(N_2\), durch die die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung (also für \(3\le t \le 6\)) beschrieben werden kann.
    [Zur Kontrolle: \(N_2(t)=1000\cdot\text{e}^{1,8}-500\cdot\text{e}^{3,6\ -\ 0,6t}\)]
    Originalprüfung 2015 Analysis HT1 LK - Abbildung 2
  4. Erklären Sie anhand der Abbildung aus 3, weshalb die folgende Gleichung gilt: 
    \(\int\limits_0^3N_1(t)\text{d}t+\int\limits_3^6N_2(t)\text{d}t=6\cdot N_1(3)\)
    [Die Punktsymmetrie des Graphen zu \((3|N_1(3))\) muss nicht nachgewiesen werden.] 
  5. Der Schüler verwendet die Funktion \(N_2\) auch zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen für \(t\ge 6\).
    Begründen Sie, dass in diesem Modell die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung zu keinem Zeitpunkt größer als 6050 wird.

(3 + 4 + 6 + 4 +3 Punkte)

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