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Originalprüfung 2015 Analysis eA


Aufgabe 1A

Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden. Die Kanne wird entsprechend der folgenden Abbildung im Koordinatensystem liegend betrachtet.

Originalprüfung 2015 Analysis eA - Abbildung 1

Außen wird der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) beschrieben durch eine Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{1}{512}\cdot x^3-\frac{3}{8}\cdot x+6\,;\, x\) und \(f(x)\) in Zentimetern.

  1. Die parallel zur y-Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt 2 mm. Begründen Sie, dass innen der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) durch eine Funktion \(g\) mit \(g(x)=\frac{1}{512}\cdot x^3-\frac{3}{8}\cdot x+5,8\) beschrieben wird; \(x\) und \(g(x)\) in Zentimetern. 
    Bestimmen Sie den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.
    Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der obigen Abbildung dargestellt. Seine Wandstärke beträgt 3 mm. Der Einsatz reicht vom Boden bis 1 cm unterhalb der Öffnung.
    Berechnen Sie die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er 0,75 Liter Flüssigkeit enthält.
  2. An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für \(-8\leq x \leq 8\) beschrieben durch eine Funktion \(h\) mit \(h(x)=-\frac{1}{256}\cdot x^3-\frac{3}{64}\cdot x^2+9\,;\,x\) und \(h(x)\) in Zentimetern.
    Zeigen Sie, dass der Übergang zwischen der Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle \(x=-8\) sprung- und knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei ist.
    Der obere Rand der Hülle hat im Punkt \(B(8 | 4)\) eine waagerechte Tangente.
    Bestimmen Sie die Größe des Winkels \(\alpha\), unter dem der Griff im Punkt \(B\) auf den oberen Rand der Hülle trifft.
    Zeigen Sie, dass der parallel zur \(y\)-Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle stets kleiner als 3,7 cm ist.
  3. Die äußere Hülle (ohne Deckel und Boden) wird aus Kunststoff gefertigt. 
    Berechnen Sie die Masse des dafür benötigten Kunststoffs, wenn 1cm³ Kunststoff eine Masse von 0,91g hat (Nur für CAS).
    Berechnen Sie das Volumen des dafür benötigten Kunststoffs (Nur für GTR).
    Die senkrecht zum Graphen von \(f\) gemessene Dicke \(d\) der Hülle soll untersucht werden. Eine Gerade, die senkrecht zum Graphen von \(f\) durch den Punkt \(C(0 | 6)\) verläuft, hat die Gleichung \(n(x)=\frac{8}{3}\cdot x+6.\)
    Untersuchen Sie, ob die Dicke \(d\) im Punkt \(C(0 | 6)\) um weniger als 10% von der parallel zur \(y\)-Achse gemessenen Wandstärke abweicht.
  4. Unabhängig vom Sachzusammenhang werden Graphen ganzrationaler Funktionen \(p\) dritten Grades betrachtet, die neben einem Wendepunkt auch einen Hoch- und einen Tiefpunkt haben.
    In der folgenden Abbildung ist der Graph einer möglichen Ableitungsfunktion \(p'\) dargestellt.

    Originalprüfung 2015 Analysis eA - Abbildung 2
    Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass für jeden Graphen einer ganzrationalen Funktion \(p\) dritten Grades mit obigen Eigenschaften gilt:
    1. Die \(x\)-Koordinate des Wendepunktes liegt in der Mitte zwischen der \(x\)-Koordinate des Hoch- und der \(x\)-Koordinate des Tiefpunktes.
    2. Hoch-, Wende- und Tiefpunkt liegen auf einer Geraden.

(14 + 12 + 13 + 7 BE)

Aufgabe 1B

Bei der Untersuchung eines Patienten wird ein Atemstoßtest durchgeführt. Dazu soll der Patient einmal möglichst vollständig und schnell ausatmen. Die hierbei pro Zeit ausgeatmete Luft wird als Atemfluss bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Sekunde und die Zeit in Sekunden gemessen. Der Messvorgang und das Ausatmen beginnen gleichzeitig zum Zeitpunkt \(t_0=0\)s.
In den ersten drei Sekunden des Ausatmens wird der Atemfluss durch die Funktion \(f\) mit \(f(t)=40\cdot t\cdot\text{e}^{-\frac{5}{2}t}\), \(t\) in Sekunden, \(f(t)\) in Litern pro Sekunde, modelliert. Die folgende Abbildung zeigt den Graphen von \(f\).

Originalprüfung 2015 Analysis eA - Abbildung 3

  1. Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_1\), zu dem der Atemfluss maximal ist.
    Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_2\), zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.
    Der Messvorgang wird beendet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt \(t_1\) die Grenze von \(0,1\frac{L}{s}\) unterschreitet.
    Berechnen Sie die Dauer des Messvorgangs.
  2. Es wird modellhaft vorausgesetzt, dass die Lunge zum Zeitpunkt \(t_0=0\)s voll und zum Zeitpunkt \(t_3=2,81\)s leer ist. Ein Patient wird als gesund eingestuft, wenn er innerhalb der ersten Sekunde mindestens 75% der in seiner Lunge vorhandenen Luft ausatmet.
    Entscheiden Sie, ob der obige Patient bezüglich dieses Kriteriums als gesund eingestuft werden kann. 
    Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Patient 3,2 Liter Luft ausgeatmet hat.
  3. Bei einer weiteren Messung wird der Atemfluss durch die Funktion \(g\) mit \(g(t)=35\cdot t\cdot\text{e}^{-\frac{5}{2}t}\)\(t\) in Sekunden, \(g(t)\) in Litern pro Sekunde, modelliert.
    Begründen Sie ohne Rechnung, dass bei dieser Modellierung die Zeitpunkte \(t_1\) und \(t_2\) aus Teilaufgabe a) gleich bleiben.
    Durch einen Defekt des Messgerätes werden bei dieser Messung nur Atemflusswerte unterhalb eines unbekannten Schwellenwertes \(S\) aufgezeichnet. Nach der Messung wird festgestellt, dass dadurch für einen Zeitraum von 0,25 Sekunden keine Atemflusswerte aufgezeichnet wurden. Die folgende Abbildung verdeutlicht diesen Sachverhalt.

    Originalprüfung 2015 Analysis eA - Abbildung 4

    Bestimmen Sie das Zeitintervall, in dem das Messgerät keine Werte aufzeichnet, und den Schwellenwert \(S\).
  4. Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktion \(h\) mit \(h(x)=x^2\cdot\text{e}^{x^2}\) gegeben.
    CAS:
    • Zeigen Sie, dass der Graph von \(h\) an der Stelle \(x=0\) eine waagerechte Tangente hat.
    • Im Folgenden wird die Funktion \(k\) mit \(k(x)=p(x)\cdot\text{e}^{p(x)}\) betrachtet.
    • Untersuchen Sie, wie viele Stellen mit waagerechter Tangente der Graph von \(k\) haben kann, wenn \(p\) eine quadratische Funktion ist.
    • Im Folgenden soll \(p\) eine beliebige differenzierbare Funktion sein.
    ​​GTR:
    • Weisen Sie nach, dass sich die erste Ableitung von h in der Form \(h'(x)=2\cdot x\cdot m(x)\) mit geeigneter Funktion \(m\) schreiben lässt.
    • Begründen Sie, dass der Graph von h an der Stelle \(x=0\) eine waagerechte Tangente hat.
    • IIm Folgenden wird die Funktion \(k\) mit \(k(x)=p(x)\cdot\text{e}^{p(x)}\) betrachtet. Die Funktion \(p\) ist differenzierbar.
    Beurteilen Sie, ob der Graph von \(k\) an allen Extremstellen von \(p\) jeweils eine waagerechte Tangente hat.

(CAS: 11 + 11 + 10 + 14 BE)
(GTR: 11 + 12 + 11 + 12 BE)

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