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Originalprüfung 2014 Analysis Teil A, AG 2


Aufgabe 1

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb{R}\) definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.

  1. Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(x\longmapsto\sin x\) durch Spiegelung an der \(y\)-Achse hervor.
  2. Die Funktion \(h\) hat den Wertebereich \([1;3]\).
  3. Die Funktion \(k\) besitzt die Periode \(π\).
  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^x⋅(2x+x^2)\).

  1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
  2. Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion mit \(F(x)=x^2⋅e^x\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1) = 2e\) gilt.
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Der Graph einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(g: x⟼g(x)\) besitzt für \(-5≤x≤5 \) zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I, II und III zur zweiten Ableitungsfunktion \(g^"\) von \(g\) gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Originalprüfung 2014 Analysis Teil A, AG 2 - Abbildung 1

  • Punkte:  2

Aufgabe 4

In einem Koordinatensystem werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:

  • Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.
  • Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen \(G_f\) der Funktion \(f: x\longmapsto-\ln x\) mit \(0 < x < 1\) .

Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.

Originalprüfung 2014 Analysis Teil A, AG 2 - Abbildung 2

Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.

  • Punkte:  2

Aufgabe 5

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Originalprüfung 2014 Analysis Teil A, AG 2 - Abbildung 3

  1. Beschreiben Sie für \(a≤x≤b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).
  2. Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich.
  • Punkte:  5
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