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Originalprüfung 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK


Aufgabe

Bundeslandwirtschaftsministerin Ilse Aigner hat im April 2009 den Anbau von Genmais in Deutschland verboten, da ihrer Ansicht nach Risiken für die Umwelt nicht ausgeschlossen werden konnten. Im Januar 2010 fand eine repräsentative Umfrage unter der deutschen Bevölkerung mit folgender Fragestellung statt: „Sollte der Anbau von Genmais in Deutschland weiterhin verboten bleiben?“

Die Tabelle gibt die Ergebnisse der Umfrage nach Altersgruppen aufgeschlüsselt wieder:

Originalprüfung 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 1

 

a)

  1. Eine Person wird zufällig aus den 1005 Teilnehmern der Umfrage ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie keine Angabe gemacht hat.
  2. Aus den Teilnehmern der Umfrage werden 3 Personen zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede dieser 3 Personen mindestens 50 Jahre alt ist und mit „Ja“ geantwortet hat.
  3. Unter den Befragten der Altersgruppe „14 bis 29 Jahre“ befanden sich 57 Schüler. Von diesen antworteten \(\frac{2}{3}\) mit „Ja“. Bestimmen Sie den Anteil der Nicht-Schüler unter den 14- bis 29-Jährigen, die mit „Ja“ geantwortet haben.
  • Punkte:  11

b)

Die Befragten der Altersgruppe „14 bis 29 Jahre“ setzen sich aus Schülern und Nicht-Schülern zusammen. Genau \(\frac{2}{3}\) der Schüler haben mit „Ja“ geantwortet, während der Anteil der Nicht-Schüler, die mit „Ja“ geantwortet haben, \(r \approx 83{,}1\,\%\) beträgt.

Die Anzahl \(x\) der Schüler in der Altersgruppe „14 bis 29 Jahre“ kann nun mithilfe der Gleichung

\(\frac{2}{3} \cdot x + r \cdot (211 -x)=166\)

bestimmt werden.

  1. Begründen Sie die Gültigkeit dieser Gleichung.
  2. Ermitteln Sie die gesuchte Anzahl \(x\) der Schüler.
  • Punkte:  6

c)

Die Umfrage wurde auch nach Herkunft der Teilnehmer (West- oder Ostdeutschland) ausgewertet.

Originalprüfung 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 2

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Teilnehmer der Umfrage, der mit „Ja“ geantwortet hat, aus Westdeutschland stammt.
  2. Aus den Teilnehmern der Umfrage werden 2 Personen zufällig ausgewählt. Beide haben mit „Ja“ geantwortet.
    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweite Person aus demselben Teil Deutschlands stammt wie die erste (Ost bzw. West).
  • Punkte:  6

Im folgenden Aufgabenteil sollen die in der obigen Umfrage ermittelten relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten für die Bevölkerung in Deutschland angenommen werden.

d)

Eine weitere Umfrage unter \(n\) zufällig ausgewählten Personen wird mit derselben Fragestellung durchgeführt.

  1. Angenommen, bei dieser Umfrage werden nur Personen aus der Altersgruppe „50 bis 59 Jahre“ befragt.
    Begründen Sie, dass die Zufallsgröße
    \(X\): „Anzahl der Befragten, die mit ‚Nein‘ geantwortet haben“
    als binomialverteilt angenommen werden kann, und zeigen Sie, dass die zugehörige Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{8}\) beträgt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

  1. unter 40 zufällig in der Altersgruppe „50 bis 59 Jahre“ ausgewählten Personen die Anzahl derer, die mit „Nein“ antworten, genau dem Erwartungswert dieser Altersgruppe entspricht.
  2. von 10 zufällig ausgewählten Personen alle eine Angabe („Ja“ oder „Nein“) machen, wenn diesmal bei der Umfrage nur Personen im Alter von 14 bis 49 Jahren befragt werden.
  • Punkte:  10

e)

Um z. B. den unbekannten Anteil \(p_M\) der Befürworter unter allen Männern zu schätzen, kann man eine Umfrage unter zufällig ausgewählten Männern durchführen, die Anzahl \(X\) der Befürworter in der Umfrage ermitteln und daraus ein 90 %-Konfidenzintervall \(K_M\) für \(p_M\) ermitteln.

  1. Erklären Sie die Bedeutung dieses Intervalls im Sachzusammenhang.

In der tatsächlich durchgeführten Umfrage sprachen sich von den 487 befragten Männern 366 für ein Verbot des Anbaus von Genmais aus, von den befragten 518 Frauen sogar 426. Für den unbekannten Anteil \(p_M\) der Befürworter unter allen Männern wurde als 90 %-Konfidenzintervall daraus näherungsweise das Intervall \(K_M=[0{,}7181; 0{,}7822]\) ermittelt.

  1. Bestimmen Sie aufgrund der Umfrage ein 90 %- Konfidenzintervall \(K_F\) für den unbekannten Anteil \(p_F\) der Befürworter unter den Frauen.
    Gehen Sie dabei ohne Beweis davon aus, dass die Zufallsgröße
    \(​Y\): „Anzahl der Frauen, die mit ‚Ja‘ geantwortet haben“
    binomialverteilt ist und die Laplace-Bedingung \(\delta>3\) erfüllt ist.
  2. Die Konfidenzintervalle \(K_F\) und \(K_M\) überschneiden sich nicht. Interpretieren Sie dies im Sachzusammenhang.
  • Punkte:  15
Originalprüfung 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 3
Originalprüfung 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 4
Originalprüfung 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 5
Originalprüfung 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 6
Originalprüfung 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 7
Originalprüfung 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 8
Originalprüfung 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 9
Die Veröffentlichung der Originalprüfung erfolgt mit freundlicher Genehmigung des jeweiligen Kultusministeriums.
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