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Originalprüfung 2013 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 5, LK


Aufgabe

In der Ebene \(\mathbb{R}^2\) ist die Abbildung \(\alpha\) mit der Gleichung

\(a\left( \vec{x} \right) = M \cdot\vec{x} + \vec{c}\) mit \(M=\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{pmatrix}\)\(\vec{x}= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\) und \(\vec{c}= \begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}\)

durch die folgenden Eigenschaften gegeben:

Der Punkt \(P(0|4)\) wird durch \(\alpha\) auf den Punkt \(P'(6|1)\) abgebildet.
Genau die Punkte der Geraden \(g: x_1-x_2=-1\) werden durch \(\alpha\) auf sich selbst abgebildet.

a)

Bestimmen Sie rechnerisch die Matrix \(M\) und den Verschiebungsvektor \(\vec{c}\) der Abbildung \(\alpha\) mithilfe geeigneter Punkte und ihrer Bildpunkte.
[Zur Kontrolle: \(M=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)\(\vec{c} = M=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)]

  • Punkte:  10

b)

  1. Zeigen Sie, dass \(\lambda_1=1\) und \(\lambda_2=-2\) die Eigenwerte der Matrix \(M\) sind.

  2. Bestimmen Sie zu diesen Eigenwerten je einen Eigenvektor.

  3. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse aus (1) und (2) im Hinblick auf Existenz und Lage von Fixgeraden, d. h. von Geraden, die durch \(\alpha\) auf sich selbst abgebildet werden. 

  • Punkte:  14

c)

  1. Zeigen Sie, dass jede Gerade, die durch einen Punkt, der nicht auf der Geraden \(g\) liegt, und seinen Bildpunkt verläuft, parallel zur Geraden \(PP'\) ist.

  2. Der Bildpunkt \(Q'\) des Punktes \(Q(3|0)\) soll nun geometrisch konstruiert werden. Stellen Sie diese geometrische Konstruktion grafisch dar und erklären Sie Ihr Vorgehen.

  • Punkte:  14

d)

Die Abbildung \(\alpha\) gehört zu einer Menge von Abbildungen \(\alpha_k\), die die Abbildungsgleichung

\(\alpha_k( \overset{\rightharpoonup}x ) = \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2k & 2 \\ k & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(k \neq 0\)

besitzen.

  1. Zeigen Sie, dass alle Abbildungen \(\alpha_k\) den Punkt \(P(0|4)\) auf denselben Bildpunkt \(P'\) abbilden.

  2. Zeigen Sie, dass alle Abbildungen \(\alpha_k\) genau einen gemeinsamen Fixpunkt besitzen.

  3. Eine Abbildung \(\alpha_k\) heißt „Schrägspiegelung“, wenn die zugehörige Matrix \(M\) die Eigenwerte \(\lambda_1=1\) und \(\lambda_2=-1\) besitzt.
    Bestimmen Sie den Wert von \(k\), für den die Abbildung \(\alpha_k\) eine Schrägspiegelung ist.

  • Punkte:  12
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