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Originalprüfung 2013 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 4, LK


Aufgabe

An einer Schule wird eine Mathematikausstellung unter dem Motto „Mathematik zum Anfassen und Mitmachen“ ausgerichtet.

Eines der ausgestellten Experimente besteht aus einer annähernd punktförmigen Lichtquelle, einer Leinwand, auf die verschiedene unregelmäßige Dreiecke gezeichnet sind, und einem Drahtmodell eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks. Dieses Drahtmodell gilt es so zwischen Lichtquelle und Leinwand zu halten, dass sein Schatten exakt mit einem der Dreiecke auf der Leinwand zur Deckung gebracht wird.

Die Abbildung zeigt eine Prinzipdarstellung des Experiments.

Originalprüfung 2013 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 4, LK - Abbildung 1

In dieser Aufgabe ist die Leinwand die \(x_2 x_3\)-Ebene, die Position der Lichtquelle ist \(L(40|10|10)\), die Längeneinheit 1 dm.

Das Drahtmodell wird zunächst so zwischen Lichtquelle und Leinwand gehalten, dass seine Ecken in den Punkten \(A(30|10|10)\)\(B(32|11|12)\) und \(C(31|12|8)\) liegen.

a)

  1. Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks \(ABC\).
  2. Bestimmen Sie die Position des rechten Winkels im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) und berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
  • Punkte:  10

b)

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte \(A'\), \(B'\) und \(C'\) des Schattens, den das Drahtmodell auf die Leinwand wirft.
  2. Zeigen Sie, dass bei der Projektion des Dreiecks \(ABC\) auf das Schattendreieck \(A'B'C'\) die Größen aller Innenwinkel verändert werden.
    [Zur Kontrolle: \(A'(0|10|10)\), \(B'(0|15|20)\)\(C' \left( 0 \left| \frac{170}{9}\right| \frac{10}{9} \right)\)]
  • Punkte:  19

c)

Auf der Leinwand ist das Dreieck \(R'S'T'\) mit den Eckpunkten \(R' \left( 0 \left| \frac{22}{3} \right| \frac{22}{3} \right)\), \(S'\) und \(T'\) aufgezeichnet. Das Drahtmodell wird so zwischen Lichtquellen und Leinwand gehalten, dass sein Schatten mit dem Dreieck \(R'S'T'\) auf der Leinwand zur Deckung kommt. Die Position \(S(26|11|7)\) und \(T(23|8|7)\) der beiden 45°-Ecken des Drahtmodells werden als bekannt vorausgesetzt, während die Position \(R\) der 90°-Ecke, deren Schatten auf der Leinwand die Position \(R'\) hat, bestimmt werden soll.

  1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden \(LR'\) an, auf der der Lichtstrahl verläuft, der von der Position \(L\) der Lichtquelle ausgeht und im Punkt \(R'\) auf die Leinwand trifft.
  2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der alle Punkte liegen, die von den Punkten \(S\) und \(T\) gleichen Abstand haben.
    [Zur Kontrolle: \(E: x_1+x_2=34\)]
  3. Berechnen Sie nun die Koordinaten der Position \(R\) der 90°-Ecke des Drahtmodells.
  4. Die Position \(R\) könnte nicht mithilfe der Ebene \(E\) aus (2) bestimmt werden, wenn die Position der Lichtquelle \(L\) in dieser Ebene läge.
    Beschreiben Sie einen Lösungsweg zur Bestimmung der Position \(R\) der 90°-Ecke des Drahtmodells, der die Ebene \(E\) aus (2) nicht verwendet.
  • Punkte:  21
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