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Originalprüfung 2013 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 4, GK


Zugelassene Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit), mathematische Formelsammlung, Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

 

Aufgabe

Ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck aus Pappe wird zwischen eine Lichtquelle und eine Leinwand gehalten, auf der es einen Schatten erzeugt (s. Abbildung).

Originalprüfung 2013 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 4, GK - Abbildung 1

In dieser Aufgabe ist die Leinwand Teil der \(x_2\)\(x_3\)-Ebene, die Position der Lichtquelle ist \(L(40|10|18)\), die Längeneinheit \(1\,\text{dm}\).
Das Pappdreieck wird so zwischen Lichtquelle und Leinwand gehalten, dass seine Ecken in den Punkten \(A(30|10|16)\), \(B(32|11|18)\) und \(C(31|12|14)\) liegen.

a)

  1. Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks \(ABC\).
  2. Bestimmen Sie die Position des rechten Winkels im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) und berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
    [Kontrollergebnis: \(4,5 \, \mathrm{dm^2}\)]
  • Punkte:  12

b)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte \(A'\), \(B'\) und \(C'\) des Schattens, den das Pappdreieck auf die Leinwand wirft.
[Zur Kontrolle: \(A'(0|10|10)\)\(B'(0|15|18) \) und \(C' \left( 0 \middle| \frac{170}{9} \middle| \frac{2}{9} \right) \)]

  • Punkte:  12

c)

Zeigen Sie, dass das Schattendreieck \(A'B'C'\) des Dreiecks \(ABC\) keinen rechten Winkel bei \(A'\) hat. 

  • Punkte:  5

d)

Nun soll das Volumen des Schattenraums zwischen dem Dreieck \(ABC\) und seinem Schatten \( A'B'C'\) berechnet werden (s. Abbildung). Gehen Sie dazu folgendermaßen vor:

  1. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide \( A'B'C'L\) mit der Grundfläche \(A'B'C'\) und der Spitze \(L\).
    Ohne Nachweis darf dabei verwendet werden, dass das Dreieck den Flächeninhalt \(60 \, \mathrm{dm^2} \) hat.
  2. Geben Sie eine Gleichung der durch die Punkte \(A\), \(B\), und \(C\) gegebenen Ebene \(E_{ABC}\) in Parameterform an.
    Bestimmen Sie einen Vektor \(\vec{n}\), der senkrecht auf \( E_{ABC} \) steht, und geben Sie eine Gleichung der Geraden \(l\) an, die durch den Punkt \(L\) verläuft und die Ebene \(E_{ABC} \) senkrecht schneidet.
    [Zur Kontrolle: z. B. \( \vec{n}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)\)]
  3. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \(F\) dieser Geraden \(l\) mit der Ebene \(E_{ABC}\) und berechnen Sie den Abstand der Punkte \(L\) und \(F\).
    [Zur Kontrolle: \(F(36|14|20) \)]
  4. Ermitteln Sie nun das Volumen des Schattenraums zwischen dem Dreieck \(ABC\) und seinem Schatten \(A'B'C' \) (s. Abbildung).
  • Punkte:  21
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