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Originalprüfung 2013 Gesamtklausur I


Analysis

Teil 1

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(g:x\rightarrow \sqrt{3x+9}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\).

  1. Bestimmen Sie \(D\) und geben Sie die Nullstellen von \(g\) an.
  2. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(P(0|3)\).
  • Punkte:  7

Aufgabe 2

Geben Sie jeweils den Term in einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(W\) hat.

  1. \(W=[2;+\infty]\)
  2. \(W=[-2;2]\)
  • Punkte:  4

Aufgabe 3

Geben Sie für \(x \in \mathbb{R}^{+}\) die Lösungen der folgenden Gleichung an:

\((\ln x-1)\cdot (e^{x}-2)\cdot (\frac{1}{3}-3)=0\)

  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(f\). Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der in \(\mathbb{R}\) definierten Integralfunktion:

\(F:x\longmapsto \int\limits_{1}^{x} f(t)\mathrm{d}t\)

Berücksichtigen Sie dabei mit jeweils angemessener Genauigkeit insbesondere die Nullstellen und Extremstellen von \(F\) sowie \(F(0)\).

 

 - Abbildung 1
  • Punkte:  6

Teil 2

Aufgabe 1

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f:x\rightarrow 2x\cdot e^{-0{,}5x^{2}}\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\).

 

 - Abbildung 1
 

 

  1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_{f}\) punktsymmetisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\) plausibel, dass \(\lim\limits_{x \longrightarrow +\infty}f(x)=0\) gilt.

     

  2. Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).
    [Zur Kontrolle: \(f'(x)=2e^{-0,5x^{2}}\cdot(1-x^{2})\); y-Koordinate des Hochpunkts: \(\frac{2}{\sqrt{e}}\)]

     

  3. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate \(m_{S}\) von \(f\) im Intervall \([-0{,}5;0{,}5]\) sowie die lokale Änderungsrate \(m_{t}\) von \(f\) an der Stelle \(x=0\).
    Berechnen Sie, um wie viel Prozent \(m_{S}\) von \(m_{t}\) abweicht.

     

  4. Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse und die Gerade \(x=u\) mit \(u\in \mathbb{R}^{+}\) schließen für \(0 \leq x \leq u\) ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(u)\) ein.
    Zeigen Sie, dass \(A(u)=2-2e^{-0{,}5u^{2}}\) gilt.
    Geben Sie \(\lim\limits_{u \longrightarrow -\infty}A(u)\) an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
  5. Die Ursprungsgerade \(h\) mit der Gleichung \(y=\frac{2}{e^{2}}\cdot x\) schließt mit \(G_{f}\) für \(x\geq0\) ein Flächenstück mit dem Inhalt \(B\) vollständig ein.
    Berechnen Sie die \(x\)-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden \(h\) mit \(G_{f}\) und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein.
    Berechnen Sie \(B\).
    [Teilergebnis: \(x\)-Koordinate eines Schnittpunkts: 2]
  • Punkte:  24

Aufgabe 2

Im Folgenden wird die Schar der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(g_{c}:x\longrightarrow f(x)+c\) mit \(c \in \mathbb{R}\) betrachtet.

  1. Geben Sie in Abhängigkeit von \(c\) ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von \(g_{c}\) sowie das Verhalten von \(g_{c}\) für \(x \longrightarrow +\infty\) an.
  2. Die Anzahl der Nullstellen von \(g_{c}\) hängt von \(c\) ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von \(c\) an, sodass gilt:
    α) \(g_{c}\) hat keine Nullstelle.
    β) \(g_{c}\) hat genau eine Nullstelle.
    γ) \(g_{c}\) hat genau 2 Nullstellen.
  3. Begründen Sie für \(c>0\) anhand einer geeigneten Skizze, dass
    \(\int\limits_{0}^{3}g_{c}(x)\mathrm{d}x=\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{d}x+3c \)
    gilt.
  • Punkte:  7

Aufgabe 3

Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird.

Die Funktion \(g_{1,4}:x \rightarrow x\cdot e^{-0,5x^{2}}+1,4\) beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist \(x\) die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h., \(x=1\) entspricht dem Jahr 1965) und \(g_{1,4}(x)\) die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich.

  1. Ermitteln Sie auf der Grundlage des Modells näherungsweise, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens 2,1 beträgt. 
  2. Welche zukünftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.
  3. Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt.
    Bestimmen Sie einen Näherungswert für dieses Jahr.
    Beschreiben Sie, wie man auf der Grundlage des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.
  • Punkte:  9

Geometrie

Aufgabe

Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massivem Beton, der die Form eines Spats hat. Alle Seitenflächen eines Spats sind Parallelogramme.

In einem Modell lässt sich der Grundkörper durch einen Spat \(ABCDPQRS\) mit \(A(28|0|0)\), \(B(28|10|0)\), \(D(20|0|6)\) und \(P(0|0|0)\) beschreiben (vgl. Abbildung). Die rechteckige Grundfläche \(ABQP\) liegt in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 0,1 m, das heißt, der Grundkörper ist 0,6 m hoch.

 

 - Abbildung 1
 
  1. Geben Sie die Koordinaten des Punkts \(C\) an und zeigen Sie, dass die Seitenfläche \(ABCD\) ein Quadrat ist.
  2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der die Seitenfläche \(ABCD\) liegt, in Normalenform.
    [Mögliches Ergebnis: \(E:3x_{1}+4x_{3}-84=0\)]
  3. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Seitenfläche \(ABCD\) gegen die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene geneigt ist.
  4. Die Seitenfläche \(PQRS\) liegt in einer Ebene \(F\). Bestimmen Sie, ohne zu rechnen, eine Gleichung von \(F\) in Normalenform; erläutern Sie Ihr Vorgehen.
  5. Machen Sie plausibel, dass das Volumen des Spats mithilfe der Formel \(V=G\cdot h\) berechnet werden kann, wobei \(G\) der Flächeninhalt des Rechtecks \(ABQP\) und \(h\) die zugehörige Höhe des Spats ist.
  6. Ein Kubikmeter des verwendeten Betons besitzt eine Masse von 2,1 t.
    Berechnen Sie die Masse des Grundkörpers.

Der Grundkörper ist mit einer dünnen geradlinigen Bohrung versehen, die im Modell vom Punkt \(H(11|3|6)\) der Deckfläche \(DCRS\) aus in Richtung des Schnittpunkts der Diagonalen der Grundfläche verläuft. In der Bohrung ist eine gerade Stahlstange mit einer Länge von 1,4 m so befestigt, dass die Stange zu drei Vierteln ihrer Länge aus der Deckfläche herausragt.

  1. Bestimmen Sie im Modell eine Gleichung der Geraden \(h\), entlang derer die Bohrung verläuft, sowie die Koordinaten des Punkts, in dem die Stange in der Bohrung endet.
    [Zur Kontrolle: möglicher Richtungsvektor von \(h\)\(\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -6\end{array}\right)\)]
  2. Auf der Deckfläche des Grundkörpers liegt eine Stahlkugel mit einem Radius von 0,8 m. Im Modell berührt die Kugel die Deckfläche des Spats im Punkt \(K\). Beschreiben Sie, wie man im Modell rechnerisch überprüfen könnte, ob die Stahlkugel die Stange berührt, wenn die Koordinaten von \(K\) bekannt wären.
  • Punkte:  30

Stochastik

Aufgabe 1

Folgende Tabelle gibt die Verteilung der Blutgruppen und der Rhesusfaktoren innerhalb der Bevölkerung Deutschlands wieder:

 

 - Abbildung 1
 

In einem Krankenhaus spenden an einem Vormittag 25 Personen Blut. Im Folgenden soll angenommen werden, dass diese 25 Personen eine zufällige Auswahl aus der Bevölkerung darstellen.

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 10 der Spender die Blutgruppe A haben.
  2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte der Spender die Blutgruppe 0 und den Rhesusfaktor Rh+ besitzt.

Folgende Tabelle gibt für die verschiedenen Empfänger von Spenderblut an, welches Spenderblut für sie jeweils geeignet ist:

 

 - Abbildung 1
 
  1. Für einen Patienten mit der Blutgruppe B und dem Rhesusfaktor Rh− wird Spenderblut benötigt. Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssten, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % mindestens eine für diesen Patienten geeignete Blutspende erhält.
  • Punkte:  11

Aufgabe 2

Bei 0,074 % der neugeborenen Kinder liegt eine bestimmte Stoffwechselstörung vor. Wird diese Störung frühzeitig erkannt, lässt sich durch eine geeignete Behandlung eine spätere Erkrankung vermeiden. Zur Früherkennung kann zunächst ein einfacher Test durchgeführt werden. Zeigt das Ergebnis des Tests die Stoffwechselstörung an, so bezeichnet man es als positiv.

Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung vor, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,5 % positiv. Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung nicht vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis irrtümlich positiv ist, 0,78 %.

Bei einem zufällig ausgewählten neugeborenen Kind wird der Test durchgeführt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

S: „Die Stoffwechselstörung liegt vor.“

T: „Das Testergebnis ist positiv.“

  1. Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{S\cup T}\) im Sachzusammenhang.
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(P(T)\) und \(P_{t}(S)\). Interpretieren Sie das Ergebnis für \(P_{t}(S)\) im Sachzusammenhang.
    [Zur Kontrolle: \(P(T)\approx 0{,}85\ \%;\ P_{t}(S) < 0,1\)]
  3. Im Rahmen eines Screenings wird eine sehr große Anzahl zufällig ausgewählter neugeborener Kinder getestet. Ermitteln Sie die pro Million getesteter Kinder im Mittel zu erwartende Anzahl derjenigen Kinder, bei denen die Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist.
  • Punkte:  13

Aufgabe 3

Um Geld für die Ausstattung des Spielbetriebs in der Kinderstation des Krankenhauses einzunehmen, wird ein Gewinnspiel angeboten. Nachdem der Spieler 2 Euro bezahlt hat, werden aus einem Behälter, in dem sich 3 rote, 3 grüne und 3 blaue Kugeln befinden, 3 Kugeln ohne Zurücklegen zufällig entnommen. Haben die 3 entnommenen Kugeln die gleiche Farbe, so gewinnt der Spieler und bekommt einen bestimmten Geldbetrag ausgezahlt; ansonsten verliert er und erhält keine Auszahlung. Anschließend werden die gezogenen Kugeln in den Behälter zurückgelegt.

  1. Zeigen Sie, dass bei einem Spiel die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn \(\frac{1}{28}\) beträgt.
  2. Berechnen Sie, welcher Geldbetrag im Fall eines Gewinns ausgezahlt werden muss, damit im Mittel eine Einnahme von 1,25 Euro pro Spiel für die Ausstattung des Spielbereichs erwartet werden kann.
  • Punkte:  4
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