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Originalprüfung 2012 Analytische Geometrie II Wahlteil 2


Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung

Aufgabe

In einem Koordinatensystem beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene die Meeresoberfläche (1 LE entspricht 1 m).

Zwei U-Boote U1 und U2 bewegen sich geradlinig mit jeweils konstanter Geschwindigkeit. Die Position von U1 zum Zeitpunkt \(t\) ist gegeben durch:

\(\overrightarrow x=\left(\begin{array}{c}140\\ 105\\ -170\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -90\\ -30\end{array}\right)\) (\(t\) in Minuten seit Beginn der Beobachtung)

U2 befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt \(A(68|135|{-69})\) und erreicht nach drei Minuten den Punkt \(B({-201}|{-405}|{-248})\).

a)

Wie weit bewegt sich Uin einer Minute?
Woran erkennen Sie, dass sich U1 von der Meeresoberfläche wegbewegt?
Welchen Winkel bildet die Route von U1 mit der Meeresoberfläche?

  • Punkte:  4

b)

Berechnen Sie die Geschwindigkeit von U2 in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\).

Begründen Sie, dass sich die Position von U2 zum Zeitpunkt \(t\) beschreiben lässt durch:

\(\overrightarrow x=\left(\begin{array}{c}68\\ 135\\ -68\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -180\\ -60\end{array}\right)\)

Zu welchem Zeitpunkt befinden sich beide U-Boote in gleicher Tiefe?

  • Punkte:  4

c)

Welchen Abstand haben die beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn?

Aus Sicherheitsgründen dürfen sich die beiden U-Boote zu keinem Zeitpunkt näher als 100 m kommen.
Wird dieser Sicherheitsabstand eingehalten?

  • Punkte:  4

d)

Die Routen der beiden U-Boote werden von einem Satelliten ohne Berücksichtigung der Tiefe als Strecken aufgezeichnet. Diese beiden Strecken schneiden sich.
Wie groß ist der Höhenunterschied der zwei Routen an dieser Stelle?

  • Punkte:  4
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